14598. Пусть K
, L
и M
— середины рёбер AD
, A_{1}B_{1}
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Докажите, что треугольник KLM
правильный, причём его центр совпадает с центром куба.
Решение. Пусть O
— центр куба, т. е. середина каждой диагонали куба. Тогда
\overrightarrow{OK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}D},~\overrightarrow{OL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA_{1}},~\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}C_{1}},
а так как треугольник A_{1}DC_{1}
правильный, то и треугольник KLM
правильный.
Кроме того,
\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C_{1}D}+\overrightarrow{DA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}C_{1}})=\overrightarrow{0},
Пусть O'
— центр треугольника KLM
. Тогда (см. задачу 4505)
\overrightarrow{O'K}+\overrightarrow{O'L}+\overrightarrow{O'M}=\overrightarrow{0},
Следовательно, точка O'
совпадает с точкой O
— центром куба. Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 11.1, с. 161