14603. Сфера вписана в усечённый конус, радиусы оснований которого равны R
и r
. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности усечённого конуса.
Ответ. \frac{4Rr}{(R+r)^{2}}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры соответственно большего и меньшего оснований усечённого конуса радиусов R\gt r
, O
— центр сферы, а l
— образующая усечённого конуса. Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса — равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD=2R
, BC=2r
, боковыми сторонами CD=AB=l
, и вписанную в неё окружность с центром O
радиуса \rho
. Пусть H
— точка касания этой окружности с боковой стороной CD
. Тогда OH=\rho
— высота прямоугольного треугольника COD
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 313). Значит,
\rho^{2}=OH=DH\cdot CH=O_{1}D\cdot O_{2}C=Rr.
Поскольку равнобедренная трапеция ABCD
описана около окружности, её боковая сторона равна полусумме оснований, поэтому
l=\frac{AD+BC}{2}=\frac{2R+2r}{2}=R+r.
Пусть s
— площадь сферы, а S
— площадь боковой поверхности конуса. Тогда
s=4\pi\rho^{2}=4\pi Rr,~S=\pi(R+r)l=\pi(R+r)^{2}.
Следовательно,
\frac{s}{S}=\frac{4\pi Rr}{\pi(R+r)^{2}}=\frac{4Rr}{(R+r)^{2}}.