14608. Основание правильной четырёхугольной пирамиды вписано в большую окружность сферы радиуса R
, а плоский угол при вершине пирамиды равен 30^{\circ}
. Найдите длину кривой пересечения поверхностей пирамиды и сферы.
Ответ. 2\pi R(\sqrt{3}-1)
.
Решение. Пусть SH
— высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
, M
— середина ребра AB
. Поскольку H
— центр квадрата ABCD
, вписанного в окружность радиуса R
, сторона квадрата равна R\sqrt{2}
.
Опустим перпендикуляр HO
на апофему SM
пирамиды. Тогда HO
— перпендикуляр к плоскости ASB
, поэтому O
— центр окружности сечения сферы плоскостью ASB
. Поскольку \angle ASB=30^{\circ}\lt90^{\circ}
, эта окружность пересекает боковые рёбра SA
и SB
во внутренних точках P
и Q
соответственно. Следовательно, длина кривой пересечения поверхностей пирамиды и сферы равна учетверённой длине меньшей дуги PQ
окружности сечения.
Пусть r
— радиус этой окружности. Из прямоугольных треугольников AMS
, MHS
и AOH
находим, что
SM=AM\ctg15^{\circ}=\frac{R\sqrt{2}}{2}(2+\sqrt{3}),
SH=\sqrt{SM^{2}-HM^{2}}=\sqrt{\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}(2+\sqrt{3})\right)^{2}-\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=
=\frac{R\sqrt{2}}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}-1}=R\sqrt{\frac{6+4\sqrt{3}}{2}}=R\sqrt{3+2\sqrt{3}},
HO=\frac{HM\cdot SH}{SM}=\frac{\frac{R\sqrt{2}}{2}\cdot R\sqrt{3+2\sqrt{3}}}{\frac{R\sqrt{2}}{2}(2+\sqrt{3})}=\frac{R\sqrt{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}}{2+\sqrt{3}}=R\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}.
r=OA=\sqrt{AH^{2}-HO^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=
=R\sqrt{4-2\sqrt{3}}=R\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=R(\sqrt{3}-1).
По теореме косинусов
\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{r^{2}+r^{2}-2R^{2}}{2r^{2}}=1-\frac{R^{2}}{r^{2}}=
=1-\frac{R^{2}}{R^{2}(\sqrt{3}-1)^{2}}=1-\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Значит, \angle AOB=150^{\circ}
, а так как (см. задачу 27)
30^{\circ}=\angle ASB=\frac{\angle AOB-\angle POQ}{2}=\frac{150^{\circ}-\angle POQ}{2},
то \angle POQ=90^{\circ}
.
Следовательно, длина меньшей дуги PQ
равна четверти длины окружности, т. е.
\frac{1}{4}\cdot2\pi r=\frac{1}{2}\pi r=\frac{1}{2}\pi R(\sqrt{3}-1),
а искомая длина кривой пересечения поверхностей пирамиды и сферы равна 2\pi R(\sqrt{3}-1)
.