14611. Теорема о пропорциональных отрезках на скрещивающихся прямых. Докажите, что если две скрещивающиеся прямые пересечены тремя (или более) параллельными плоскостями, то отрезки, отсекаемые этими плоскостями на одной из прямых, пропорциональны соответственным отрезкам на другой прямой.
Решение. Пусть скрещивающиеся прямые m
и n
пересечены параллельными плоскостями \alpha
, \beta
и \gamma
, причём прямая m
пересекает эти плоскости в точках A
, B
и C
соответственно, а прямая n
— в точках D
, E
и F
соответственно.
Через точку C
проведём прямую l
, параллельную n
. Пусть она пересекает плоскости \alpha
и \beta
точках P
и Q
соответственно. Тогда PD\parallel QE\parallel CF
и AP\parallel BQ
(см. задачу 8009), и по теореме о пропорциональных отрезках \frac{AB}{BC}=\frac{PQ}{QC}=\frac{DE}{EF}
. Аналогично для любого числа плоскостей, большего трёх.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — с. 22