14612. Даны три попарно скрещивающиеся прямые a
, b
и c
, параллельные одной плоскости. Переменная прямая l
пересекает данные прямые. Докажите, что отношение отрезков, отсекаемых прямыми a
, b
и c
на прямой l
, постоянно.
Решение. Пусть прямая l
пересекает прямые a
, b
и c
в точках A
, B
и C
соответственно. Тогда для любой прямой l
, проходящей через точку A
и пересекающей a
, b
и c
, отрезки, отсекаемые на ней этими прямыми, пропорциональны соответствующим отрезкам прямой l
по теореме о пропорциональных отрезках. Аналогично для любой фиксированной точки прямой b
и прямой c
.
Если l
любая другая прямая, удовлетворяющая условию задачи, то доказываемое утверждение следует из теоремы о пропорциональных отрезках на скрещивающихся прямых (см. задачу 14611).
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 1.17, с. 28