14618. Докажите, объём равногранного тетраэдра выражается формулой
V=\frac{1}{3}abc\sqrt{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma},

где
a
,
b
и
c
— длины рёбер с общей вершиной, а
\alpha
,
\beta
и
\gamma
— углы между ними.
Решение. Пусть
\alpha
— угол между рёбрами, равными
b
и
c
;
\beta
— угол между рёбрами, равными
a
и
c
,
\gamma
— угол между рёбрами, равными
a
и
b
.
Поскольку тетраэдр равногранный, его противоположные рёбра попарно равны (см. задачу 7266), поэтому рёбра, противолежащие указанной в условии общей вершине, тоже равны
a
,
b
и
c
. Тогда по теореме косинусов
\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\cos\alpha,~\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\cos\beta,~\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\cos\gamma,

откуда
b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cos\alpha,~a^{2}+c^{2}-b^{2}=2ac\cos\beta,~a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ab\cos\gamma.

Значит (см. задачу 7276),
V=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{(a^{2}+c^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}{2}}=

=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{2bc\cos\alpha\cdot2ac\cos\beta\cdot2ab\cos\gamma}{2}}=\frac{1}{3}abc\sqrt{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}.

Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 6.35