14626. Даны четыре луча OA
, OB
, OC
и OD
. Докажите, что
\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD\geqslant-2.
В каком случае имеет место равенство?
Решение. Пусть \overrightarrow{OA}
, \overrightarrow{OB}
, \overrightarrow{OC}
и \overrightarrow{OD}
— единичные векторы. Скалярный квадрат их суммы неотрицателен, т. е.
0\leqslant(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})^{2}=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+\overrightarrow{OD^{2}}+
+2(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD})=
=4+2(\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD),
откуда,
\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD\geqslant-2.
Равенство достигается в случае, когда все четыре угла равны \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)
, т. е. когда O
— центр правильного тетраэдра ABCD
(см. задачу 9098).