14626. Пусть O
— центр описанной сферы тетраэдра ABCD
. Докажите, что
\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD\geqslant-2.
Когда достигается равенство?
Ответ. Равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD
— равногранный тетраэдр.
Решение. Пусть радиус описанной сферы тетраэдра ABCD
равен 1. Скалярный квадрат суммы единичных векторов \overrightarrow{OA}
, \overrightarrow{OB}
, \overrightarrow{OC}
и \overrightarrow{OD}
неотрицателен, т. е.
0\leqslant(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})^{2}=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+\overrightarrow{OD}^{2}+
+2(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD})=
=4+2(\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD),
откуда
\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD\geqslant-2.
Докажем, что равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD
— равногранный тетраэдр.
Пусть
\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD=-2.
Тогда
(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})^{2}=0~\Rightarrow
\Rightarrow~\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}~\Rightarrow
\Rightarrow~\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})~\Rightarrow
\Rightarrow~2\overrightarrow{OM}=-2\overrightarrow{ON},
где M
и N
— середины отрезков AB
и CD
соответственно, т. е. центры ромбов OAPB
и OCQD
со сторонами 1. Значит, точка O
— середина отрезка MN
. Аналогично, точка O
— общая середина отрезков, соединяющих середины AD
, BC
и середины AC
, BD
. Значит, то ABCD
— тетраэдр, в котором бимедианы (отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер) пересекаются в центре описанной сферы. Следовательно, ABCD
— равногранный тетраэдр (см. задачи 7108 и 7283). Что и требовалось доказать.
Очевидно, что для равногранного тетраэдра равенство
\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD=-2
верно.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Если ABCD
— вписанный четырёхугольник, а O
— центр его описанной окружности, то неравенство
\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COD+
+\cos\angle DOA+\cos\angle AOC+\cos\angle BOD\geqslant-2
тоже верно, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD
— прямоугольник (вырожденный равногранный тетраэдр).
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 238