14637. Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Ответ. Верно.
Решение. Пусть r
— радиус сферы, вписанной в данный тетраэдр ABCD
; V
— объём тетраэдра; h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
и h_{4}
— высоты тетраэдра, опущенные из вершин A
, B
, C
и D
соответственно; _{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади граней, противолежащих вершинам A
, B
, C
и D
соответственно.
Докажем, что все высоты тетраэдра равны. Заметим, что \frac{1}{2}h_{i}\leqslant2r
(i=1{,}2,3{,}4
), поэтому h_{i}\leqslant4r
. Пусть h_{1}
строго больше остальных высот. Тогда, так как V=\frac{1}{3}S_{i}h_{i}
, то S_{1}
строго меньше площадей остальных граней, поэтому
4S_{1}\lt S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}~\Rightarrow~S_{1}\lt\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}{4}.
Поскольку (см. задачу 7185)
V=\frac{1}{3}S_{1}h_{1}=\frac{1}{3}r(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})\gt\frac{1}{3}r\cdot4S_{1}=\frac{4}{3}rS_{1},
то h_{1}\lt4r
, что противоречит доказанному ранее неравенству h_{i}\leqslant4r
. Следовательно, все высоты тетраэдра равны, а все его грани равновелики. При этом все высоты равны 4r
, поэтому центр сферы лежит на каждой высоте, а основание каждой высоты совпадает с точкой касания сферы с гранью тетраэдра.
Пусть AH=BK=h
— высоты тетраэдра, а высота AK
вторично пересекает сферу в точке F
. Поскольку BH
— касательная к вписанной сфере, а BFK
— секущая, то по теореме о касательной и секущей
BH^{2}=BK\cdot BF=h\cdot\frac{h}{2}=\frac{h^{2}}{2}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH
получаем
AB^{2}=BH^{2}+AH^{2}=\frac{h^{2}}{2}+h^{2}=\frac{3h^{2}}{2}.
Аналогично, остальные рёбра тетраэдра тоже равны \frac{3h^{2}}{2}
. Следовательно, все рёбра тетраэдра равны, т. е. тетраэдр правильный.