14650. Грань ABC
тетраэдра ABCD
— прямоугольный треугольник с гипотенузой AB=a
. Высота тетраэдра, проведённая из вершины D
, проходит через середину ребра AB
и равна 2a
. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра.
Ответ. \frac{17}{16}a
.
Решение. Пусть H
— середина ребра AB
, O
— центр сферы искомого радиуса R
, описанной около данного тетраэдра.
Поскольку H
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, то точка O
лежит на прямой DH
(см. задачу 9056), причём OD=OC=R
, а OH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}
. По теореме Пифагора
CD=\sqrt{CH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+4a^{2}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}
Пусть M
— середина ребра DC
. Тогда прямая MO
— серединный перпендикуляр CD
. Прямоугольные треугольники DMO
и DHC
подобны, поэтому \frac{DO}{DM}=\frac{CD}{DH}
, или \frac{R}{\frac{a\sqrt{17}}{4}}=\frac{\frac{a\sqrt{17}}{2}}{2a}
, откуда находим, что R=\frac{17}{16}a
.