14656. В правильную четырёхугольную пирамиду, диагональное сечение которой — правильный треугольник, вписан цилиндр максимального объёма так, что его ось параллельна диагонали основания пирамиды. Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
Ответ. \frac{4\pi\sqrt{3}}{81}
.
Решение. Пусть сторона основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
равна a
, высота PH
пирамиды равна d
, радиус основания цилиндра равен r
, его высота равна h
, объём цилиндра равен V_{1}
, а объём пирамиды — V_{2}
.
Диагональное сечение APC
пирамиды — равносторонний треугольник со стороной a\sqrt{2}
, поэтому
d=\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.
Значит,
V_{2}=\frac{1}{3}a^{2}\cdot d=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{6}.
Пусть ось цилиндра параллельна диагонали AC
основания пирамиды. Тогда основания цилиндра вписаны в сечения пирамиды плоскостями, параллельными плоскости BPD
и отстоящими от этой плоскости на расстояния \frac{h}{2}
. Эти сечения — равносторонние треугольники, в которые вписана окружности радиуса r
. Стороны этих треугольников равны 2r\sqrt{3}
, поэтому расстояние h
между их плоскостями равно
AC-2r\sqrt{3}=a\sqrt{2}-2r\sqrt{3}.
При этом 0\lt r\lt d=\frac{a\sqrt{6}}{2}
. Значит (см. примечание 2 к задаче 3399),
V_{1}=\pi r^{2}h=\pi r^{2}\cdot(a\sqrt{2}-2r\sqrt{3})=\frac{1}{3}\pi\cdot r\sqrt{3}\cdot r\sqrt{3}\cdot(a\sqrt{2}-2r\sqrt{3})~\leqslant~
\leqslant~\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{r\sqrt{3}+r\sqrt{3}+(a\sqrt{2}-2r\sqrt{3})}{3}\right)^{3}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{2a^{3}\sqrt{2}}{27}=\frac{2\pi a^{3}\sqrt{2}}{81},
причём равенство достигается, если a\sqrt{2}-2r\sqrt{3}=r\sqrt{3}
, т. е. при r=\frac{a\sqrt{6}}{9}\lt\frac{a\sqrt{6}}{2}
. Тогда максимальное значение объёма цилиндра равно \frac{\pi a^{3}\sqrt{2}}{18}
. В этом случае
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{2\pi a^{3}\sqrt{2}}{81}}{\frac{a^{3}\sqrt{6}}{6}}=\frac{4\pi\sqrt{3}}{81}.