14669. Дана усечённая треугольная пирамида с основанием ABC
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
; P
— произвольная точка плоскости грани A_{1}B_{1}C_{1}
, а Q
— точка пересечения плоскостей \alpha
, \beta
и \gamma
, проходящих через прямые соответственно B_{1}C_{1}
, C_{1}A_{1}
и A_{1}B_{1}
параллельно плоскостям PBC
, PCA
и PAB
соответственно. Докажите, что тетраэдр ABCQ
и четырёхугольная пирамида ABB_{1}A_{1}C
равновелики.
Решение. Пусть S
и S_{1}
площади треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно; h
и h_{1}
— высоты тетраэдров соответственно ABCP
и A_{1}B_{1}C_{1}Q
, проведённые из вершин P
и Q
; V
и V'
— объёмы пирамиды ABB_{1}A_{1}C
и тетраэдра ABCQ
соответственно; T
— объём данной усечённой пирамиды. Нужно доказать, что V=V'
.
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) рёбра тетраэдра ABCP
соответственно параллельны рёбрам тетраэдра A_{1}B_{1}C_{1}Q
, значит, эти тетраэдры подобны (они гомотетичны относительно точки пересечения прямой QP
с плоскостью грани ABC
). Тогда
\frac{h}{h_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{S_{1}}}~\Rightarrow~h_{1}=\frac{h\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S}}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~V'=\frac{1}{3}(h+h_{1})S=\frac{1}{3}\left(h+\frac{h\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S}}\right)S=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS_{1}}),
а так как
T=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS_{1}}+S_{1})~\Rightarrow~V'=T-\frac{1}{3}hS_{1},
то
V'=T-\frac{1}{3}hS_{1}.
Значит,
V=T-V_{A_{1}B_{1}C_{1}C}=T-\frac{1}{3}hS_{1}.
Следовательно, V=V'
. Что и требовалось доказать.