14671. Даны скрещивающиеся прямые l
и l'
. На прямой l
отмечены точки A
, B
и C
, причём B
— середина отрезка AC
. Расстояния от этих точек до прямой l'
равны a
, b
и c
соответственно. Докажите, что b\lt\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
.
Решение. Пусть HH'
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых l
и l'
, причём точки H
и H'
лежат на прямых l
и l'
соответственно. Через точку H'
проведём прямую l''
, параллельную l
, опустим на неё перпендикуляры AA''
, BB''
и CC''
, а затем из точек A''
, B''
и C''
опустим перпендикуляры A''A'
, B''B'
и C''C'
на прямую l'
. Обозначим
AA''=BB''=CC''=HH'=d.
По теореме о трёх перпендикулярах отрезки AA'
, BB'
и CC'
перпендикулярны прямой l'
, поэтому
AA'=a,~BB'=b,~CC'=c.
Обозначим
A''A'=a',~B''B'=b',~C''C'=c'.
Тогда
\frac{a^{2}+c^{2}}{2}=\frac{(d^{2}+a'^{2})+(d^{2}+c'^{2})}{2}=d^{2}+\frac{a'^{2}+c'^{2}}{2},
а так как
\frac{a'^{2}+c'^{2}}{2}\geqslant\left(\frac{a'+c'}{2}\right)^{2},
(см. задачу 3399), то
\frac{a^{2}+c^{2}}{2}\geqslant d^{2}+\left(\frac{a'+c'}{2}\right)^{2}=d^{2}+b'^{2}=b^{2},
так как b'=\frac{a'+c'}{2}
по теореме о средней линии трапеции. Равенство достигается только в случае, когда a'=c'=0
, т. е., когда прямые l
и l'
параллельны, что невозможно по условию задачи. Следовательно,
b\lt\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1987, из материалов жюри
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1989, задача X3 (1987, с. 249), с. 69