14674. Даны сфера и плоскость, разбивающая сферу на два сферических сегмента. На одном из сегментов отмечена точка A
, наиболее удалённая от второго (обозначим его через S
). На сегменте S
отмечена точка B
, наиболее удалённая от первого. Через точку A
проводятся всевозможные хорды сферы, пересекающие основание сегмента S
в точке Q
, а его сферическую поверхность — в точке P
. Через точки P
и Q
проводятся всевозможные сферы \gamma
. Докажите что отрезки AT
касательных, проведённых из точки K
ко всем сферам \gamma
(T
— точка касания), имеют фиксированную длину.
Решение. Плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые AT
и AP
, пересекает сферу \gamma
по окружности, для которой AT
— тоже касательная. Значит,
AT^{2}=AP\cdot AQ
(см. задачу 93).
Пусть радиус данной сферы равен R
, а C
— ортогональная проекция точки A
на данную плоскость. Тогда точка C
лежит на диаметре AB
данной сферы. Из подобия прямоугольных треугольников APB
и ACQ
получаем
\frac{CA}{AQ}=\frac{PQ}{AB}~\Rightarrow~AP\cdot AQ=CA\cdot AB.
Значит,
AT^{2}=AP\cdot AQ=CA\cdot AB=2R\cdot CA.
Следовательно, AT
— не зависит от выбора хорды на данной сфере. Что и требовалось доказать.