14679. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на диагонали BD_{1}
взята точка отмечена точка N
так, что BN:ND_{1}=1:2
. Точка O
— середина отрезка CB_{1}
.
а) Докажите, что прямая NO
проходит через точку A
.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, если длина отрезка NO
равна расстоянию между прямыми BD_{1}
и CB_{1}
и равна \sqrt{2}
.
Ответ. б) \sqrt{6}
.
Решение. а) Рассмотрим сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью параллельных прямых AD_{1}
и BC_{1}
. Середина O
диагонали CB_{1}
прямоугольника BCC_{1}B_{1}
является также серединой его диагонали BC_{1}
. Пусть отрезки AO
и BD_{1}
, лежащие в рассматриваемой плоскости, пересекаются в точке E
. Треугольник ONB
подобен треугольнику AED_{1}
по двум углам, причём коэффициент подобия равен
\frac{OB}{AD_{1}}=\frac{\frac{1}{2}BC_{1}}{AD_{1}}=\frac{1}{2}=\frac{BN}{ND_{1}}.
Значит, точка E
совпадает с N
. Следовательно, прямая NO
проходит через точку A
. Что и требовалось доказать.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, а так как этот общий перпендикуляр единственный (любой другой отрезок с концами на этих прямых длиннее его), то это отрезок NO=\sqrt{2}
. Значит, AO\perp CB_{1}
и AO\perp BD_{1}
, AO=3NO=3\sqrt{2}
. Треугольник CAB_{1}
равнобедренный (AB_{1}=AC
), так как его медиана AO
является высотой. Отрезок BN
высота прямоугольного треугольника ABO
, поэтому (см. задачу 2728)
BO^{2}=NO\cdot AO\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6~\Rightarrow~BO=\sqrt{6},
а так как
CO=\frac{1}{2}BC_{1}=\frac{1}{2}CB_{1}=BO=\sqrt{6},
то из прямоугольного треугольника AOC
находим, что
\tg\angle ACB_{1}=\tg\angle ACO=\frac{AO}{CO}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}.
Значит, \angle ACB_{1}=60^{\circ}
, равнобедренный треугольник CAB_{1}
— равносторонний, и
AB_{1}=AC=CB_{1}=2\sqrt{6}.
Пусть AB=a
, BC=b
и BB_{1}=c
. Тогда
a^{2}+c^{2}=AB_{1}^{2}=CB_{1}^{2}=b^{2}+c^{2},
поэтому a=b
. Аналогично, a=c
, значит, a=c
, и данный параллелепипед — куб. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ABB_{1}
находим, что его ребро равно
\frac{AB_{1}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}.
Следовательно, его искомый объём равен (2\sqrt{3})^{3}=24\sqrt{3}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2023, задача 14