14679. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на диагонали
BD_{1}
взята точка отмечена точка
N
так, что
BN:ND_{1}=1:2
. Точка
O
— середина отрезка
CB_{1}
.
а) Докажите, что прямая
NO
проходит через точку
A
.
б) Найдите объём параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, если длина отрезка
NO
равна расстоянию между прямыми
BD_{1}
и
CB_{1}
и равна
\sqrt{2}
.
Ответ. б)
\sqrt{6}
.
Решение. а) Рассмотрим сечение параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью параллельных прямых
AD_{1}
и
BC_{1}
. Середина
O
диагонали
CB_{1}
прямоугольника
BCC_{1}B_{1}
является также серединой его диагонали
BC_{1}
. Пусть отрезки
AO
и
BD_{1}
, лежащие в рассматриваемой плоскости, пересекаются в точке
E
. Треугольник
ONB
подобен треугольнику
AED_{1}
по двум углам, причём коэффициент подобия равен
\frac{OB}{AD_{1}}=\frac{\frac{1}{2}BC_{1}}{AD_{1}}=\frac{1}{2}=\frac{BN}{ND_{1}}.

Значит, точка
E
совпадает с
N
. Следовательно, прямая
NO
проходит через точку
A
. Что и требовалось доказать.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, а так как этот общий перпендикуляр единственный (любой другой отрезок с концами на этих прямых длиннее его), то это отрезок
NO=\sqrt{2}
. Значит,
AO\perp CB_{1}
и
AO\perp BD_{1}
,
AO=3NO=3\sqrt{2}
. Треугольник
CAB_{1}
равнобедренный (
AB_{1}=AC
), так как его медиана
AO
является высотой. Отрезок
BN
высота прямоугольного треугольника
ABO
, поэтому (см. задачу 2728)
BO^{2}=NO\cdot AO\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=6~\Rightarrow~BO=\sqrt{6},

а так как
CO=\frac{1}{2}BC_{1}=\frac{1}{2}CB_{1}=BO=\sqrt{6},

то из прямоугольного треугольника
AOC
находим, что
\tg\angle ACB_{1}=\tg\angle ACO=\frac{AO}{CO}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}.

Значит,
\angle ACB_{1}=60^{\circ}
, равнобедренный треугольник
CAB_{1}
— равносторонний, и
AB_{1}=AC=CB_{1}=2\sqrt{6}.

Пусть
AB=a
,
BC=b
и
BB_{1}=c
. Тогда
a^{2}+c^{2}=AB_{1}^{2}=CB_{1}^{2}=b^{2}+c^{2},

поэтому
a=b
. Аналогично,
a=c
, значит,
a=c
, и данный параллелепипед — куб. Из равнобедренного прямоугольного треугольника
ABB_{1}
находим, что его ребро равно
\frac{AB_{1}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}.

Следовательно, его искомый объём равен
(2\sqrt{3})^{3}=24\sqrt{3}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2023, задача 14