14680. Окружность C
с центром M
лежит на плоскости \alpha
, P
— точка пространства, не лежащая на этой окружности.
а) Докажите, что при фиксированной точке P
сумма AP^{2}+BP^{2}
постоянна для любого диаметра AB
окружности C
.
б) Пусть AB
— произвольный диаметр окружности C
, а точка P
перемещается по фиксированной сфере S
, не пересекающей плоскость \alpha
. Для какой точки P
на S
сумма AP^{2}+BP^{2}
минимальна?
Ответ. б) Пусть T
— центр сферы S
. Тогда P
— точка пересечения отрезка MT
со сферой.
Решение. а) Пусть радиус окружности C
равен R
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
4PM^{2}=2PA^{2}+2PB^{2}-AB^{2}=2PA^{2}+2PB^{2}-4r^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~AP^{2}+BP^{2}=2MP^{2}+2r^{2}.
Правая часть этого равенства не зависит от положения диаметра AB
. Отсюда следует утверждение а).
б) Для любого положения точки P
на сфере S
радиус окружности равен постоянной величине r
, поэтому в доказанном равенстве
AP^{2}+BP^{2}=2MP^{2}+2r^{2}
изменяется только MP
. Таким образом, остаётся выяснить, при каком положении точки P
на сфере S
величина MP
минимальна.
Пусть T
— центр сферы S
радиуса R
, D
— точка пересечения отрезка MT
со сферой, D'
— произвольная точка сферы, отличная от D
. Тогда
MD+R=MD+DT=MT\lt MD'+TD'=MD'+R,
откуда MD\lt MD'
. Следовательно, D
— искомая точка.
Источник: Датские математические олимпиады. — 1993
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 6, задача 4 (1997, с. 197), с. 331