14684. В тетраэдр ABCD
вписана сфера. К ней проведены четыре касательные плоскости, параллельные граням тетраэдра и отсекающие от него четыре меньших тетраэдра. Докажите, что сумма всех 24 рёбер отсечённых тетраэдров вдвое больше суммы всех рёбер тетраэдра ABCD
.
Решение. Тетраэдр AKLM
, отсечённый от тетраэдра ABCD
плоскостью KLM
, параллельной основанию BCD
, гомотетичен тетраэдру ABCD
с центром гомотетии A
и коэффициентом, равным отношению высот \frac{h_{a}}{H_{a}}
этих тетраэдров, проведённых из вершины A
. Пусть \Sigma_{a}
— сумма всех рёбер тетраэдра AKLM
, \Sigma
— сумма всех рёбер тетраэдра ABCD
, а r
— радиус вписанной сферы тетраэдра ABCD
. Тогда из гомотетии
\frac{\Sigma_{a}}{\Sigma}=\frac{h_{a}}{H_{a}}=\frac{H_{a}-2r}{H_{a}}=1-\frac{2r}{H_{a}}.
Аналогично определим H_{b}
, H_{c}
, H_{d}
, \Sigma_{b}
, \Sigma_{c}
, \Sigma_{d}
. Тогда
\frac{\Sigma_{a}+\Sigma_{b}+\Sigma_{c}+\Sigma_{d}}{\Sigma}=2~\Leftrightarrow~4-2r\left(\frac{1}{H_{a}}+\frac{1}{H_{b}}+\frac{1}{H_{c}}+\frac{1}{H_{d}}\right)=2~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~r\left(\frac{1}{H_{a}}+\frac{1}{H_{b}}+\frac{1}{H_{c}}+\frac{1}{H_{d}}\right)=1.
Таким образом, достаточно доказать последнее равенство.
Пусть S
и V
— соответственно площадь полной поверхности и объём тетраэдра ABCD
, а S_{a}
, S_{b}
, S_{c}
и S_{d}
— площади граней тетраэдра ABCD
, противоположных вершинам A
, B
, C
и D
соответственно. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{a}H_{a}=\frac{1}{3}S_{b}H_{b}=\frac{1}{3}S_{c}H_{c}=\frac{1}{3}S_{d}H_{d}
и V=\frac{1}{3}Sr
(см. задачу 7185). Тогда
r\left(\frac{1}{H_{a}}+\frac{1}{H_{b}}+\frac{1}{H_{c}}+\frac{1}{H_{d}}\right)=\frac{3V}{S}\left(\frac{S_{a}}{3V}+\frac{S_{b}}{3V}+\frac{S_{c}}{3V}+\frac{S_{d}}{3V}\right)=
=\frac{3V}{S}\cdot\frac{1}{3V}\left(S_{a}+S_{b}+S_{c}+S_{d}\right)=\frac{3V}{S}\cdot\frac{1}{3V}\cdot S=1.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Математические олимпиады Чехии и Словакии. — 1998
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 1, задача 3, с. 23