14688. Докажите, что сумма квадратов высот тетраэдра не превосходит \frac{4}{9}
суммы квадратов его рёбер.
Указание. Оцените сумму квадратов медиан тетраэдра.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, DA=a'
, DB=b'
и DC=c'
— рёбра тетраэдра ABCD
, h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
и h_{d}
— высоты тетраэдра, проведённые из вершин A
, B
, C
и D
соответственно, m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
и m_{d}
— медианы тетраэдра, проведённые из вершин A
, B
, C
и D
соответственно.
Тогда
h_{a}\leqslant m_{a},~h_{b}\leqslant m_{b},~h_{c}\leqslant m_{c},~h_{d}\leqslant m_{d}.
По формуле Лейбница (см. задачу 7259)
m_{a}^{2}=\frac{1}{3}(a'^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{9}(a^{2}+b'^{2}+c'^{2}),
m_{b}^{2}=\frac{1}{3}(b'^{2}+a^{2}+c^{2})-\frac{1}{9}(b^{2}+a'^{2}+c'^{2}),
m_{c}^{2}=\frac{1}{3}(c'^{2}+a^{2}+b^{2})-\frac{1}{9}(c^{2}+a'^{2}+b'^{2}),
m_{d}^{2}=\frac{1}{3}(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Сложив эти четыре равенства, получим
m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}+m_{d}^{2}=\frac{4}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}).
Следовательно,
h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}+h_{d}^{2}\leqslant m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}+m_{d}^{2}\leqslant\frac{4}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}).
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1943, том 18, № 2, задача 507, с. 91