14690. Радиус основания и высота цилиндра равны r
и h
соответственно, причём сумма r+h
равна постоянной величине a
. Докажите, что V\leqslant\frac{4\pi a^{3}}{27}
и S\leqslant\frac{1}{2}\pi a^{2}
, где V
— объём, а S
— боковая поверхность цилиндра.
Решение. 1. Поскольку r+h=a
, получаем (см. примечание к задаче 3399)
V=\pi r^{2}h=4\pi\frac{r}{2}\cdot\frac{r}{2}\cdot h\leqslant4\pi\left(\frac{\frac{r}{2}+\frac{r}{2}+h}{3}\right)^{3}=4\pi\left(\frac{r+h}{3}\right)^{3}=\frac{4\pi a^{3}}{27}.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда \frac{r}{2}=h
, или r=2h
, т. е. тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r
и 4r
.
2. Аналогично (см. задачу 3399),
S=2\pi rh\leqslant2\pi\left(\frac{r+h}{2}\right)^{2}=2\pi\cdot\frac{a^{2}}{4}=\frac{\pi a^{2}}{2}.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда r=h
, т. е. тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами 2r
и r
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1965, том 38, № 1, задача 552, с. 55