14691. Докажите, что из всех параллелепипедов с данными длинами рёбер наибольшую сумму диагоналей имеет прямоугольный.
Решение. Пусть
\overrightarrow{a}
,
\overrightarrow{b}
и
\overrightarrow{c}
— векторы, построенные на рёбрах параллелепипеда, исходящих из одной вершины;
a
,
b
и
c
соответственно — их длины;
\alpha
,
\beta
и
\gamma
— углы между векторами
\overrightarrow{b}
и
\overrightarrow{c}
,
\overrightarrow{a}
и
\overrightarrow{c}
,
\overrightarrow{a}
и
\overrightarrow{b}
соответственно;
\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},~\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b},~\overrightarrow{z}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c},~\overrightarrow{t}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}

векторы, построенные на четырёх диагоналях параллелепипеда;
S
— сумма длин диагоналей.
Тогда
|\overrightarrow{x}|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\cos\gamma+2ac\cos\beta+2bc\cos\alpha,

|\overrightarrow{y}|^{2}=a^{2}+c^{2}+b^{2}+2ac\cos\beta-2ab\cos\gamma-2bc\cos\alpha,

|\overrightarrow{z}|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\cos\gamma-2ac\cos\beta-2bc\cos\alpha,

|\overrightarrow{t}|^{2}=b^{2}+c^{2}+a^{2}+2bc\cos\alpha-2ab\cos\gamma-2ac\cos\beta.

Среднее арифметическое четырёх положительных чисел не больше их среднего квадратичного (см. примечание к задаче 3399), поэтому
S=|\overrightarrow{x}|+|\overrightarrow{y}|+|\overrightarrow{z}|+|\overrightarrow{t}|\leqslant4\sqrt{\frac{|\overrightarrow{x}|^{2}+|\overrightarrow{y}|^{2}+|\overrightarrow{z}|^{2}+|\overrightarrow{t}|^{2}}{4}}=

=2\sqrt{|\overrightarrow{x}|^{2}+|\overrightarrow{y}|^{2}+|\overrightarrow{z}|^{2}+|\overrightarrow{t}|^{2}}=2\sqrt{2a^{2}+2b^{2}+23c^{2}}=4\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}},

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти числа равны, т. е.
|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{z}|=|\overrightarrow{t}|,

т. е. тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1996, том 69, № 3, задача Q851, с. 225 и 230