14700. Предположим, что у тетраэдра есть два ребра наибольшей длины, причём эти рёбра противоположные. Докажите, что тогда из трёх рёбер, выходящих из некоторой вершины тетраэдра, можно составить остроугольный треугольник.
Решение. Пусть OA
и BC
— наибольшие рёбра тетраэдра OABC
. Предположим, что из каждой тройки рёбер из условия задачи нельзя составить остроугольный треугольник. Тогда (см. задачу 4253)
OA^{2}\geqslant OB^{2}+OC^{2},~BC^{2}\geqslant OB^{2}+OA^{2},
OA^{2}\geqslant AB^{2}+AC^{2},~BC^{2}\geqslant OC^{2}+AC^{2}.
(Если нельзя составить вообще никакой треугольник, то это условие заведомо выполняется.) Складывая эти неравенства, получаем
2OA^{2}+2BC^{2}\geqslant2OB^{2}+2OC^{2}+2AB^{2}+2AC^{2},
или
OA^{2}+BC^{2}\geqslant OB^{2}+OC^{2}+AB^{2}+AC^{2},
а так как
BC^{2}=\overrightarrow{BC}^{2}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})^{2}=OC^{2}+OB^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB},
AB^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^{2}=OB^{2}+OA^{2}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA},
AC^{2}=\overrightarrow{AC}^{2}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})^{2}=OC^{2}+OA^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA},
то, подставив эти выражения в неравенство
OA^{2}+BC^{2}\geqslant OB^{2}+OC^{2}+AB^{2}+AC^{2},
получим
OA^{2}+(OC^{2}+OB^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB})\geqslant OB^{2}+OC^{2}+(OB^{2}+OA^{2}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})+(OC^{2}+OA^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}),
или
0\geqslant OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=
=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}|^{2}.
Значит,
\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},~\mbox{или}~\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BA}.
Тогда OABC
— параллелограмм. Следовательно, точки O
, A
, B
и C
лежат в одной плоскости, а это противоречит тому что OABC
— тетраэдр.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 15.18, с. 241