14706. Боковые грани правильной треугольной пирамиды — прямоугольные треугольники. Найдите сторону основания пирамиды, если радиус вписанного в неё шара равен \frac{1}{\sqrt{6}}
.
Ответ. \sqrt{3}+1
.
Решение. Обозначим сторону основания пирамиды через a
, радиус вписанного шара через r
, боковое ребро через b
, полную поверхность через S
, площадь боковой грани через S_{0}
, а объём через V
. Тогда
b=\frac{a}{\sqrt{2}},~S_{0}=\frac{1}{2}b^{2}=\frac{a^{2}}{4},~S=3S_{0}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}a^{2}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}a^{2}(3+\sqrt{3}),
V=\frac{1}{3}Sr=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}a^{2}(3+\sqrt{3})\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{1}{12\sqrt{6}}a^{2}(3+\sqrt{3})
(см. задачу 7185).
С другой стороны,
V=\frac{1}{3}S_{0}b=\frac{a^{2}}{4}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^{3}}{12\sqrt{2}}.
Из равенства
\frac{a^{3}}{12\sqrt{2}}=\frac{1}{12\sqrt{6}}a^{2}(3+\sqrt{3})
Находим, что a=\sqrt{3}+1
.
Источник: Олимпиада Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. — 2024, заключительный тур, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 5-6, с. 43, задача 4; № 7, с. 62