14708. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Плоскость \alpha
проходит через вершины B_{1}
и D
и пересекает рёбра AA_{1}
и CC_{1}
в точках M
и K
соответственно. Известно, что точка M
— середина ребра AA_{1}
.
а) Докажите, что четырёхугольник MB_{1}KD
— ромб.
б) Найдите площадь ромба MB_{1}KD
, если объём призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен 9, а площадь её основания ABCD
равна 3.
Ответ. \frac{3\sqrt{10}}{2}
.
Решение. а) В прямоугольных треугольниках MAD
и MA_{1}B_{1}
известно, что AD=A_{1}B_{1}
и MA=MA_{1}
. Следовательно, эти треугольники равны, а значит, MD=MB_{1}
.
Плоскость \alpha
пересекает параллельные грани AA_{1}B_{1}B
и CC_{1}D_{1}D
призмы по параллельным прямым MB_{1}
и KD
(см. задачу 8009). Аналогично параллельны прямые MD
и B_{1}K
. Следовательно, MB_{1}KD
— параллелограмм с равными соседними сторонами. Таким образом, четырёхугольник MB_{1}KD
— ромб.
б) Площадь квадрата ABCD
, поэтому AB=BC=\sqrt{3}
, откуда BD=AC=\sqrt{6}
. Четырёхугольник AMKC
— параллелограмм, поскольку его стороны AM
и CK
равны и параллельны. Значит, MK=AC=\sqrt{6}
.
Высота BB_{1}
равна отношению объёма призмы ABCDAB_{1}C_{1}D_{1}
к площади её основания ABCD
, т. е. равна 3.
По теореме Пифагора
DB_{1}=\sqrt{DB^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{15}.
Значит, площадь ромба MB_{1}KD
равна
\frac{1}{2}MK\cdot B_{1}D=\frac{3\sqrt{10}}{2}.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 14