14711. В правильной треугольной пирамиде SABC
с основанием ABC
точки M
и K
— середины рёбер AB
и SC
соответственно, а точки N
и L
отмечены на рёбрах SA
и BC
соответственно так, что отрезки MK
и NL
пересекаются, а AN=3NS
.
а) Докажите, что прямые MN
, KL
и SB
пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение BL:LC
.
Ответ. 3:1
.
Решение. а) Точка N
не является серединой отрезка AS
, поэтому прямые MN
и SB
, лежащие в плоскости ABS
пересекаются в некоторой точке U
. Точки M
, N
, K
и L
лежат в одной плоскости, пересекающей прямую SB
в точке U
. Эта плоскость содержит точки K
, L
и U
и пересекается с плоскостью SBC
по прямой KL
. Следовательно, прямая KL
проходит через точку U
, а значит, прямые MN
, KL
и SB
пересекаются в одной точке U
.
б) Обозначим середину ребра SB
через T
. Тогда отрезок MT
— средняя линия треугольника ABS
, а отрезок TK
— средняя линия треугольника BSC
. Значит,
MT=\frac{1}{2}AS,~TK=\frac{1}{2}BC.
По условию NS=\frac{1}{4}AS
. Треугольники MUT
и NUS
подобны с коэффициентом подобия \frac{NS}{MT}=\frac{1}{2}
, поэтому US=TS
. Треугольники TUK
и BUL
подобны с коэффициентом \frac{BU}{TU}=\frac{3ST}{2ST}=\frac{3}{2}
, поэтому BL=\frac{3}{2}TK=\frac{3}{4}BC
. Следовательно, \frac{BL}{LC}=\frac{3}{1}
.
Примечание. 1. Этот же результат также можно получить, применив теорему Менелая для тетраэдра (см. задачу 9106):
\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CK}{KS}\cdot\frac{SN}{NA}\cdot\frac{AM}{MB}=1,~\mbox{или}~\frac{BL}{LC}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1,
откуда \frac{BL}{LC}=\frac{3}{1}
.
2. Результаты обоих пунктов верны для любой (не обязательно правильной) треугольной пирамиды.
3. Другой вариант этой задачи.
В правильной треугольной пирамиде SABC
с основанием ABC
точки M
и K
— середины рёбер AB
и SC
соответственно. На продолжении ребра SB
за точку S
отмечена точка R
. Прямые RM
и RK
пересекают рёбра AS
и BC
в точках N
и L
соответственно, причём BL=3LC
.
а) Докажите, что отрезки MK
и NL
пересекаются.
б) Найдите отношение AN:NS
.
Ответ: 3:1
.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 14