14712. Сфера единичного радиуса касается всех рёбер некоторой треугольной призмы. Чему может быть равен объём этой призмы? Ответ округлите до сотых.
Ответ. \frac{9}{4}=2{,}25
.
Решение. Сфера пересекает основание призмы по окружности, которая касается всех рёбер основания, т. е. по вписанной окружности треугольника. Следовательно, центр сферы лежит на перпендикуляре к основанию, проходящем через центр этой окружности (см. задачу 9056) как для верхнего, так и для нижнего основания. Эти перпендикуляры параллельны, значит (раз центр сферы лежит на них обоих), эти перпендикуляры совпадают. Тогда призма прямая, так как при ортогональной проекции центр вписанной окружности одного основания переходит в соответствующий центр другого.
Поскольку призма прямая, её боковые грани прямоугольники. В каждый из них можно вписать окружность, значит, это квадраты. Тогда все рёбра призмы равны, а её основания — правильные треугольники. Радиус описанной окружности основания равен 1, так как при ортогональной проекции на плоскость основания сфера переходит в окружность, содержащую все вершины треугольника, т. е. в его описанную окружность. Тогда сторона основания равна \sqrt{3}
(и такую же длину имеет боковое ребро), а площадь основания равна \frac{3\sqrt{3}}{4}
. Следовательно, объём призмы равен \sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{9}{4}
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2021, XLIV, задача 10, 11 класс