14731. На основании конуса расположены три попарно касающихся друг друга шара одинакового радиуса. Каждый из них касается также боковой поверхности конуса. Четвёртый шар того же радиуса касается первых трёх и боковой поверхности конуса. Найдите объём конуса, если радиус окружности, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса, равен \sqrt{2}
.
Ответ. \frac{\pi}{6}(3+\sqrt{3}+2\sqrt{2})^{3}
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, SO=h
— его высота; A
, B
, C
— центры шаров радиуса R
, касающихся основания конуса, а D
— центр четвёртого шара; Q
— центр основания ABC
правильного тетраэдра ABCD
со стороной 2R
.
Заметим, что ребро AD
тетраэдра параллельно образующей конуса, поэтому если угол между высотой SQ
и боковым ребром DA
тетраэдра равен \alpha
, то угол между высотой SO
и образующей конуса тоже равен \alpha
.
Из прямоугольного треугольника AQD
находим, что
\sin\alpha=\frac{QA}{DA}=\frac{\frac{2R}{\sqrt{3}}}{2R}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Тогда
\cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3},~\ctg\alpha=\sqrt{2}.
Пусть M
— произвольная точка на окружности радиуса r=\sqrt{2}
, по которой четвёртый шар касается боковой поверхности конуса, O_{1}
— центр этой окружности. Тогда SO_{1}=h_{1}
— высота конуса, с основанием, совпадающим с кругом, ограниченным окружностью радиуса r
, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса. Тогда
\angle DMO_{1}=\angle DSM=\alpha,~R=\frac{O_{1}M}{\cos\angle DMO_{1}}=\frac{r}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3},
h_{1}=SO_{1}=O_{1}M\ctg\angle MSO_{1}=r\ctg\alpha=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2,~SD=\frac{DM}{\sin\alpha}=\frac{R}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=R\sqrt{3}=3.
При этом DQ
— высота правильного тетраэдра с ребром 2R
, поэтому DQ=2R\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040). Значит,
h=SO=SD+DQ+QO=R\sqrt{3}+2R\sqrt{\frac{2}{3}}+R=3+2\sqrt{2}+\sqrt{3}.
Конус с объёмом V
из условия задачи подобен рассмотренному конусу с высотой h_{1}
и объёмом V_{1}
, причём коэффициент подобия равен
k=\frac{h}{h_{1}}=\frac{3+2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
V=k^{3}V_{1}=\left(\frac{3+2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\right)^{3}\cdot\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{1}=\left(\frac{3+2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\right)^{3}\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot2\cdot2=
=\frac{\pi}{6}(3+2\sqrt{2}+\sqrt{3})^{3}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2013-2014, март 2014, закл. тур, 11 класс, задача 5, вариант 4-1