1475. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. На отрезках A_{1}C_{1}
, и C_{1}B_{1}
взяты соответственно точки M
и N
так, что \angle MAA_{1}=\angle NAC
. Докажите, что MA
— биссектриса угла C_{1}MN
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
, \angle MAA_{1}=\angle NAC=\varphi
. Тогда (см. задачу 141)
\angle AC_{1}B_{1}=\gamma,~\angle BC_{1}A_{1}=\gamma,~\angle CC_{1}B_{1}=90^{\circ}-\gamma,~\angle CC_{1}A_{1}=90^{\circ}-\gamma,~\angle CAA_{1}=90^{\circ}-\gamma,
\angle MAN=\angle MAA_{1}+\angle NAA_{1}=\varphi+(\angle CAA_{1}-\varphi)=\angle CAA_{1}=90^{\circ}-\gamma.
Пусть прямая, симметричная AN
относительно AM
, пересекает прямую A_{1}C_{1}
в точке K
(предположим, что K
лежит на продолжении отрезка A_{1}C_{1}
за точку C_{1}
). Тогда
\angle NAK=2\angle MAN=2(90^{\circ}-\gamma)=180^{\circ}-\gamma,
а так как
\angle KC_{1}N=180^{\circ}-\angle A_{1}C_{1}B_{1}=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\gamma)=\gamma,
то \angle NAK+\angle KC_{1}N=180^{\circ}
, поэтому точки A
, K
, C_{1}
и N
лежат на одной окружности. Поскольку \angle AC_{1}K=\angle BC_{1}A_{1}=\gamma=\angle AC_{1}B_{1}
, вписанные в эту окружность равные углы AC_{1}K
и AC_{1}N
опираются на равные хорды, значит, AK=AN
(см. задачу 805).
Треугольники AKM
и ANM
равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \angle AMK=\angle AMN
, т. е. MA
— биссектриса угла KMN
, а значит, и угла C_{1}MN
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка K
лежит на отрезке A_{1}C_{1}
.