14758. На стороне AC
основания треугольной пирамиды ABCD
расположена точка M
, причём AM:MC=1:2
. Через середину стороны BC
основания пирамиды проведена плоскость P
, проходящая через точку M
и параллельная боковому ребру CD
. В каком отношении плоскость P
делит объём пирамиды?
Ответ. 7:11
.
Решение. Пусть N
— середина ребра BC
. Поскольку секущая плоскость параллельна ребру CD
она пересечёт плоскость ACD
по прямой MR
, параллельной CD
(точка R
на ребре AD
), а плоскость BCD
— по прямой NQ
также параллельной CD
(точка Q
на ребре BD
). Соединим точки R
и Q
, лежащие в одной плоскости, и точки M
и N
лежащие в одной плоскости. Итак, сечение, о котором говорится в условии, — трапеция MRQN
.
Пусть прямые AB
и MN
, лежащие в плоскости ABC
, пересекаются в точке E
. Применив теорему Менелая к треугольнику ABC
и прямой ME
, получим
\frac{CM}{MA}\cdot\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BN}{NC}=1,~\mbox{или}~\frac{2}{1}\cdot\frac{AE}{EB}\cdot\frac{1}{1}=1,
откуда \frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}
, т. е. A
— середина отрезка BE
. Тогда CA
и EN
— медианы треугольника BCE
, а M
— точка из пересечения. Следовательно, \frac{EM}{EN}=\frac{2}{3}
, а так как MR\parallel CD\parallel NQ
, то \frac{ER}{EQ}=\frac{EM}{EN}=\frac{2}{3}
.
Пусть V
и V_{1}
— объёмы треугольных пирамид соответственно ABCD
и BNQ
с основаниями BCD
и BNQ
, а h
и h_{1}
— высоты этих пирамиды, проведённые из вершин A
и E
соответственно. Тогда, поскольку NQ
— средняя линия треугольника BCD
, получим
S_{\triangle BNQ}=\frac{1}{4}S_{\triangle BCD},~h_{1}=\frac{AE}{EB}\cdot h=2h,
поэтому
V_{1}=\frac{1}{4}\cdot2\cdot V=\frac{1}{2}V.
Пусть V_{2}
— объём пирамиды AMRE
с основанием AMR
. Тогда (см. задачу 7244)
V_{2}=\frac{EA}{EB}\cdot\frac{EM}{EN}\cdot\frac{ER}{EQ}\cdot V_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{9}V=\frac{1}{18}V.
Значит, искомое отношение равно
\frac{V_{1}-V_{2}}{V}=\frac{\frac{1}{2}V-\frac{1}{18}V}{V}=\frac{7}{18}.
Следовательно, искомое отношение равно
\frac{7}{18-7}=\frac{7}{11}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, заключительный тур, 11 класс, комплект 1, задача 6, вариант 1