14762. В произвольной треугольной пирамиде ABCD
проведено сечение плоскостью, пересекающей рёбра AB
, DC
и DB
в точках M
, N
и P
соответственно. Точка M
делит ребро AB
в отношении AM:MB=2
. Точка N
делит ребро DC
в отношении DN:NC=3
. Точка P
делит ребро DB
в отношении DP:PB=1:2
. Найдите отношение AQ:QC
, где Q
— точка пересечения секущей плоскости с прямой AC
.
Ответ. 12:1
.
Решение. По теореме Менелая для тетраэдра (см. задачу 9106)
\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BP}{PD}\cdot\frac{DN}{NC}=1,~\mbox{или}~\frac{CQ}{QA}\cdot2\cdot2\cdot3=1,
откуда \frac{AQ}{QC}=12
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2022-2023, отборочный тур, компл.2, 11 класс, задача 5, вариант 1