14774. В треугольной пирамиде SABC
плоский угол ASB
при вершине S
равен 30^{\circ}
, а боковое ребро SC
наклонено к плоскости грани ASB
под углом 45^{\circ}
. Сумма боковых рёбер пирамиды равна 9. Найдите наибольшее возможное при этих условиях значение объёма пирамиды.
Ответ. \frac{9\sqrt{2}}{8}
.
Решение. Пусть CK
высота пирамиды, проведённая из вершины C
, V
— объём пирамиды ASB
. По условию задачи \angle ASC=30^{\circ}
и \angle CSK=45^{\circ}
. Тогда, применив неравенство Коши для трёх положительных чисел (см. примечание к задаче 3399), получим
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ASB}\cdot CK=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}SA\cdot SB\cdot\sin30^{\circ}\cdot CS\cdot\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{24}SA\cdot SB\cdot CS\leqslant
\leqslant\frac{\sqrt{2}}{24}\left(\frac{SA+SB+CS}{3}\right)^{3}=\frac{\sqrt{2}}{24}\left(\frac{9}{3}\right)^{3}=\frac{\sqrt{2}}{24}\cdot27=\frac{9\sqrt{2}}{8},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда SA=SB=SC=3
. Следовательно, наибольшее возможное при данных условиях значение объёма пирамиды равно \frac{9\sqrt{2}}{8}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, отборочный тур,, компл. 1, 11 класс, задача 6, вариант 1