14775. На рёбрах трёхгранного угла с вершиной в точке S
расположены точки M
, N
и K
, для которых SM^{2}+SN^{2}+SK^{2}\leqslant12
. Найдите площадь треугольника SMN
, если известно, что угол MSN
равен 30^{\circ}
, а объём пирамиды SMNK
максимально возможный.
Ответ. 1.
Решение. Пусть KH
— высота пирамиды, \angle KSH=\alpha
, V
— объём. Тогда, применив неравенство Коши для трёх положительных чисел (см. примечание к задаче 3399) и неравенство \sin^{2}\alpha\leqslant1
, получим
V^{2}=\left(\frac{1}{3}S_{\triangle SMN}\cdot KH\right)^{2}=\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}SM\cdot SN\sin30^{\circ}\cdot SK\sin\alpha\right)^{2}=
=\frac{1}{12^{2}}SM^{2}\cdot SN^{2}\cdot SK^{2}\cdot\sin^{2}\alpha\leqslant\frac{1}{12^{2}}\left(\frac{SM^{2}+SN^{2}+SK^{2}}{3}\right)^{2}\cdot1=
=\frac{1}{12^{2}}\cdot\frac{12^{3}}{27}=\frac{4}{9},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда SM^{2}=SN^{2}=SK^{2}=4
и \sin^{2}\alpha=1
, т. е. SM=SN=SK=2
и \alpha=90^{\circ}
. В этом случае
S_{\triangle SMN}=\frac{1}{2}SM\cdot SN\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{1}{2}=1.
(Заметим, что V
максимально тогда и только тогда, когда максимально V^{2}
, так как все сомножители, входящие в V
, положительны.)
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, отборочный тур,, компл. 2, 11 класс, задача 6, вариант 1