14780. Известно, что x+2y+3z=1
. Какое наименьшее значение может принимать выражение x^{2}+y^{2}+z^{2}
?
Ответ. \frac{1}{14}
.
Решение. Уравнение x+2y+3z=1
в прямоугольной системе координат Oxyz
задаёт плоскость. Выражение x^{2}+y^{2}+z^{2}
равно квадрату расстояния от начала координат O
до точки M(x;y;z)
. Это расстояние не меньше расстояния d
от точки M
до плоскости x+2y+3z=1
, т. е. (см. задачу 7563)
x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant d^{2}=\left(\frac{|1\cdot0+2\cdot0+3\cdot0-1|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}}\right)^{2}=\frac{1}{14},
причём равенство достигается, когда точка M
— основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость x+2y+3z=1
. Следовательно, наименьшее значение выражения x^{2}+y^{2}+z^{2}
равно \frac{1}{14}
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 8.2, с. 71