14794. Центр шара, касающегося всех рёбер пирамиды, лежит на её высоте. Докажите, что такая пирамида правильная.
Решение. Пусть центр K
шара лежит на высоте SO
пирамиды с вершиной S
, а M
и N
— точки касания шара с соседними боковыми рёбрами SA
и SB
соответственно. Прямоугольные треугольники SMK
и SNK
равны по общей гипотенузе SK
и катету (KM=KN
), поэтому \angle MSK=\angle NSK
.
Прямоугольные треугольники SOA
и SOB
равны по общему катету и острому углу, поэтому OA=OB
. Аналогично для остальных отрезков, соединяющих основание высоты с вершинами основания пирамиды. Значит, O
— центр описанной окружности многоугольника основания. Кроме того (см. задачу 14791а), O
— центр вписанной окружности этого многоугольника. Тогда основание — правильный многоугольник (см. задачу 6001), а его высота проходит через центр основания. Следовательно, пирамида правильная.
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 12, с. 57