14798. Два конуса с общей вершиной, осевое сечение каждого из которых — равносторонний треугольник со стороной
a
, лежат на плоскости и касаются друг друга по некоторой образующей. На какой высоте над над этой плоскостью находится точка касания оснований конусов?
Ответ.
\frac{a\sqrt{3}}{3}

Решение. Рассмотрим две пирамиды
MABC
и
NABC
с высотами
MA
и
NA
, симметричные относительно плоскости их общего основания
ABC
. Пусть
K
— середина их общего ребра
BC
, а
A
— общая вершина двух равных конусов, основания которых вписаны в треугольники
BMC
и
BNC
. Пусть
D
— центр основания конуса, вписанного в первую пирамиду,
F
— точка касания окружности основания с ребром
MC
,
E
— вторая точка пересечения окружности основания с высотой
MK
равнобедренного треугольника
BMC
.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что образующая
AF
конуса — высота прямоугольного треугольника
ACM
, проведённая из вершины прямого угла, а
AKE
— осевое сечение конуса, вписанного в пирамиду
MABC
, т. е. равносторонний треугольник со стороной
a
.
Поскольку окружности оснований конусов касаются в точке
K
, то требуется найти расстояние
d
от точки
K
до плоскости
MCN
. Опустим перпендикуляр
KH
из точки
K
на прямую
AC
. Прямая
KH
перпендикулярна пересекающимся прямым
AC
и
MN
плоскости
MCN
, поэтому
KH
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит,
KH=d
.
В прямоугольном треугольнике
MAK
известно, что
\angle AKM\angle AKE=60^{\circ}
, поэтому
AM=AK\tg60^{\circ}=a\sqrt{3}.

В прямоугольном треугольнике
MAC
известно, что
MA=a\sqrt{3}
, а
AF=a
— высота, проведённая из вершины
A
прямого угла. Обозначим
\angle CAF=\angle AMC=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{AF}{AM}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~AC=\frac{AF}{\cos\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

В то же время (см. задачу 1967)
AC\cdot KH=AK\cdot KC~\Rightarrow~d=KH=\frac{AK\cdot KC}{AC}=\frac{AK\cdot\sqrt{AC^{2}-AK^{2}}}{AC}=

=\frac{a\cdot\sqrt{\frac{3}{2}a-a^{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.

Примечание. См. также статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1972
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 2, с. 49, задача 2