14798. Два конуса с общей вершиной, осевое сечение каждого из которых — равносторонний треугольник со стороной a
, лежат на плоскости и касаются друг друга по некоторой образующей. На какой высоте над над этой плоскостью находится точка касания оснований конусов?
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{3}
Решение. Рассмотрим две пирамиды MABC
и NABC
с высотами MA
и NA
, симметричные относительно плоскости их общего основания ABC
. Пусть K
— середина их общего ребра BC
, а A
— общая вершина двух равных конусов, основания которых вписаны в треугольники BMC
и BNC
. Пусть D
— центр основания конуса, вписанного в первую пирамиду, F
— точка касания окружности основания с ребром MC
, E
— вторая точка пересечения окружности основания с высотой MK
равнобедренного треугольника BMC
.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что образующая AF
конуса — высота прямоугольного треугольника ACM
, проведённая из вершины прямого угла, а AKE
— осевое сечение конуса, вписанного в пирамиду MABC
, т. е. равносторонний треугольник со стороной a
.
Поскольку окружности оснований конусов касаются в точке K
, то требуется найти расстояние d
от точки K
до плоскости MCN
. Опустим перпендикуляр KH
из точки K
на прямую AC
. Прямая KH
перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и MN
плоскости MCN
, поэтому KH
— перпендикуляр к этой плоскости. Значит, KH=d
.
В прямоугольном треугольнике MAK
известно, что \angle AKM\angle AKE=60^{\circ}
, поэтому
AM=AK\tg60^{\circ}=a\sqrt{3}.
В прямоугольном треугольнике MAC
известно, что MA=a\sqrt{3}
, а AF=a
— высота, проведённая из вершины A
прямого угла. Обозначим \angle CAF=\angle AMC=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{AF}{AM}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~AC=\frac{AF}{\cos\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
В то же время (см. задачу 1967)
AC\cdot KH=AK\cdot KC~\Rightarrow~d=KH=\frac{AK\cdot KC}{AC}=\frac{AK\cdot\sqrt{AC^{2}-AK^{2}}}{AC}=
=\frac{a\cdot\sqrt{\frac{3}{2}a-a^{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Примечание. См. также статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1972
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 2, с. 49, задача 2