14799. Четыре равных конуса имеют общую вершину, причём каждый конус имеет с тремя другими по одной общей образующей. Найдите отношение суммы объёмов конуса к объёму шара, касающегося плоскостей оснований конусов.
Ответ. 2:1
.
Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром a
. Тогда конусы, о которых говорится в условии, вписаны в треугольные пирамиды с общей вершиной в центре тетраэдра (основание каждого конуса вписано в грань тетраэдра).
Высота h
каждого конуса равна радиусу шара, вписанного в правильный тетраэдр (четверти высоты тетраэдра), т. е. h=\frac{1}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7048), а радиус r
основания конуса равен r=\frac{a}{2\sqrt{3}}
(см. задачу 1963). Значит, объём V
каждого конуса равен
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\frac{a^{2}}{12}=\frac{\pi a^{2}h}{36}.
Радиус шара, касающегося плоскостей оснований конусов, равен высоте h
конусов, значит, объём V_{1}
шара равен V_{1}=\frac{4}{3}\pi h^{3}
. Следовательно,
\frac{4V}{V_{1}}=\frac{\frac{\pi a^{2}h}{9}}{\frac{4}{3}\pi h^{3}}=\frac{a^{2}}{12h^{2}}=\frac{a^{2}}{12\cdot\left(\frac{1}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}}=\frac{a^{2}}{12\cdot\frac{1}{16}\cdot a^{2}\cdot\frac{2}{3}}=\frac{48}{24}=2.
Примечание. См. также статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1972
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 2, с. 49, задача 2