14808. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде
ABCDA'B'C'D'
нижнее основание
ABCD
— квадрат со стороной 3, верхнее основание
A'B'C'D'
— квадрат со стороной 1, боковые рёбра
AA'
,
BB'
,
CC'
и
DD'
равны 3. Точка
M
— середина ребра
C'D'
. Через точку
M
проходит прямая, пересекающая прямые
AA'
и
BC
в точках
P
и
Q
соответственно. Найдите
PQ
.
Ответ.
\frac{3}{5}\sqrt{101}
.
Решение. Проведём плоскость
BCM
. Пусть
N
— точка её пересечения с ребром
A'B'
. Тогда
MN\parallel BC
(см. задачу 8003), прямая
BN
пересекает продолжение ребра
AA'
в точке
P
, а прямая
MP
пересекает продолжение ребра
BC
в точке
Q
.
Обозначим
A'P=t
. Треугольник
A'PN
подобен треугольнику
APB
с коэффициентом
\frac{A'N}{AB}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}
, поэтому
AP=3+t=6t~\Rightarrow~t=\frac{3}{5}~\mbox{и}~AP=6t=\frac{18}{5}.

Обозначим
\angle BAA'=\alpha
. Через вершину
A'
равнобедренной трапеции
AA'B'B
параллельно боковой стороне
BB'
проведём прямую, пересекающую основание
AB
в точке
K
. Из равнобедренного треугольника
AA'K
находим
\cos\alpha=\cos\angle KAA'=\frac{\frac{1}{2}AK}{AA'}=\frac{1}{3}.

По теореме косинусов
BP=\sqrt{AB^{2}+AP^{2}-2AB\cdot AP\cos\alpha}=\sqrt{3^{2}+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}-2\cdot3\cdot\frac{18}{5}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}\sqrt{41}.

Сечение данной пирамиды плоскостью
BCM
— равнобедренная трапеция
BCMN
с основаниями
MN=1
и
BC=3
и боковыми сторонами
CM=BN=\frac{5}{6}BP=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{5}\sqrt{41}=\frac{\sqrt{41}}{2}.

Обозначим
\angle LBN=\beta
. Через вершину
N
равнобедренной трапеции
BCMN
параллельно боковой стороне
CM'
проведём прямую, пересекающую основание
BC
в точке
L
. Из равнобедренного треугольника
BNL
находим
\cos\beta=\cos\angle LBN=\frac{\frac{1}{2}BL}{BN}=\frac{1}{\frac{\sqrt{41}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{41}}.

Треугольник
BPQ
подобен треугольнику
NPM
с коэффициентом
\frac{PB}{NP}=6
, поэтому
BQ=6MN=6
. Следовательно, по теореме косинусов
PQ=\sqrt{BP^{2}+BQ^{2}-2BP\cdot BQ\cos\beta}=\sqrt{\left(\frac{18}{5}\right)^{2}+6^{2}-2\cdot\frac{18}{5}\cdot6\cdot\frac{2}{\sqrt{41}}}=

=3\sqrt{\frac{41}{25}+4-\frac{8}{5}}=\frac{3}{5}\sqrt{41+100-40}=\frac{3}{5}\sqrt{101}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 5, с. 47, задача 5