14808. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде ABCDA'B'C'D'
нижнее основание ABCD
— квадрат со стороной 3, верхнее основание A'B'C'D'
— квадрат со стороной 1, боковые рёбра AA'
, BB'
, CC'
и DD'
равны 3. Точка M
— середина ребра C'D'
. Через точку M
проходит прямая, пересекающая прямые AA'
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Найдите PQ
.
Ответ. \frac{3}{5}\sqrt{101}
.
Решение. Проведём плоскость BCM
. Пусть N
— точка её пересечения с ребром A'B'
. Тогда MN\parallel BC
(см. задачу 8003), прямая BN
пересекает продолжение ребра AA'
в точке P
, а прямая MP
пересекает продолжение ребра BC
в точке Q
.
Обозначим A'P=t
. Треугольник A'PN
подобен треугольнику APB
с коэффициентом \frac{A'N}{AB}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}
, поэтому
AP=3+t=6t~\Rightarrow~t=\frac{3}{5}~\mbox{и}~AP=6t=\frac{18}{5}.
Обозначим \angle BAA'=\alpha
. Через вершину A'
равнобедренной трапеции AA'B'B
параллельно боковой стороне BB'
проведём прямую, пересекающую основание AB
в точке K
. Из равнобедренного треугольника AA'K
находим
\cos\alpha=\cos\angle KAA'=\frac{\frac{1}{2}AK}{AA'}=\frac{1}{3}.
По теореме косинусов
BP=\sqrt{AB^{2}+AP^{2}-2AB\cdot AP\cos\alpha}=\sqrt{3^{2}+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}-2\cdot3\cdot\frac{18}{5}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}\sqrt{41}.
Сечение данной пирамиды плоскостью BCM
— равнобедренная трапеция BCMN
с основаниями MN=1
и BC=3
и боковыми сторонами
CM=BN=\frac{5}{6}BP=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{5}\sqrt{41}=\frac{\sqrt{41}}{2}.
Обозначим \angle LBN=\beta
. Через вершину N
равнобедренной трапеции BCMN
параллельно боковой стороне CM'
проведём прямую, пересекающую основание BC
в точке L
. Из равнобедренного треугольника BNL
находим
\cos\beta=\cos\angle LBN=\frac{\frac{1}{2}BL}{BN}=\frac{1}{\frac{\sqrt{41}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{41}}.
Треугольник BPQ
подобен треугольнику NPM
с коэффициентом \frac{PB}{NP}=6
, поэтому BQ=6MN=6
. Следовательно, по теореме косинусов
PQ=\sqrt{BP^{2}+BQ^{2}-2BP\cdot BQ\cos\beta}=\sqrt{\left(\frac{18}{5}\right)^{2}+6^{2}-2\cdot\frac{18}{5}\cdot6\cdot\frac{2}{\sqrt{41}}}=
=3\sqrt{\frac{41}{25}+4-\frac{8}{5}}=\frac{3}{5}\sqrt{41+100-40}=\frac{3}{5}\sqrt{101}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 5, с. 47, задача 5