14812. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 1, ребро SA
перпендикулярно плоскости основания, SA=\sqrt{3}
. Плоскость \alpha
параллельна прямым SB
и SC
, плоскость \beta
параллельна прямым SC
и AB
. Найдите угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. \arccos\frac{1}{5}
.
Решение. Достроим основание ABC
до равностороннего треугольника A'B'C'
, проведя через вершины A
, B
и C
прямые, соответственно параллельные сторонам BC
, AC
и AB
. Пусть B'
— точка пересечения проведённых прямых, параллельных BC
и AB
, а C'
— точка пересечения проведённых прямых, параллельных BC
и AC
. Тогда плоскости \alpha
и \beta
соответственно параллельны плоскостям A'SC'
и A'SB'
.
Пусть AX
— высота равностороннего треугольника B'AC'
. Тогда прямая A'C'
перпендикулярна плоскости SAX
, а значит, и высоте AP
прямоугольного треугольника SAX
, проведённой из вершины прямого угла при вершине A
. Значит, AP
— перпендикуляр к плоскости A'SC'
. Из треугольника SAX
с катетами SA=\sqrt{3}
и AX=\frac{\sqrt{3}}{2}
находим, что
SX=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2},~AP=\frac{SA\cdot AX}{SX}=AP=\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.
Кроме того, отрезки SP
и PX
пропорциональны квадратам катетов SA
и AX
соответственно (см. задачу 1946), т. е.
\frac{SP}{PX}=\frac{SA^{2}}{AX^{2}}=\frac{3}{\frac{3}{4}}=4,
поэтому \frac{SP}{PX}=\frac{4}{5}
.
Аналогично найдём, что перпендикуляр AQ
, опущенный из точки A
на плоскость A'SB'
тоже равен \sqrt{\frac{3}{5}}
и отношение отрезка SQ
к высоте SY
треугольника A'SB'
тоже равно \frac{SQ}{SY}=\frac{4}{5}
. Тогда PQ\parallel XY
, а треугольник PSQ
подобен треугольнику XSY
с коэффициентом \frac{4}{5}
. Следовательно,
PQ=\frac{4}{5}XY=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}B'C'=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot2=\frac{6}{5}.
Пусть искомый угол между плоскостями \alpha
и \beta
равен \varphi
. Тогда (см. задачу 8970)
\cos\varphi=|\cos\angle PAQ|=\left|\frac{AP^{2}+AQ^{2}-PQ^{2}}{2AP\cdot PQ}\right|=\left|\frac{\frac{3}{5}+\frac{3}{5}-\frac{36}{25}}{2\cdot\frac{3}{5}}\right|=\left|-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}.
Следовательно, \varphi=\arccos\frac{1}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1981, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 5, с. 45, задача 5, вариант 1