14812. В основании треугольной пирамиды
SABC
лежит правильный треугольник
ABC
со стороной 1, ребро
SA
перпендикулярно плоскости основания,
SA=\sqrt{3}
. Плоскость
\alpha
параллельна прямым
SB
и
SC
, плоскость
\beta
параллельна прямым
SC
и
AB
. Найдите угол между плоскостями
\alpha
и
\beta
.
Ответ.
\arccos\frac{1}{5}
.
Решение. Достроим основание
ABC
до равностороннего треугольника
A'B'C'
, проведя через вершины
A
,
B
и
C
прямые, соответственно параллельные сторонам
BC
,
AC
и
AB
. Пусть
B'
— точка пересечения проведённых прямых, параллельных
BC
и
AB
, а
C'
— точка пересечения проведённых прямых, параллельных
BC
и
AC
. Тогда плоскости
\alpha
и
\beta
соответственно параллельны плоскостям
A'SC'
и
A'SB'
.
Пусть
AX
— высота равностороннего треугольника
B'AC'
. Тогда прямая
A'C'
перпендикулярна плоскости
SAX
, а значит, и высоте
AP
прямоугольного треугольника
SAX
, проведённой из вершины прямого угла при вершине
A
. Значит,
AP
— перпендикуляр к плоскости
A'SC'
. Из треугольника
SAX
с катетами
SA=\sqrt{3}
и
AX=\frac{\sqrt{3}}{2}
находим, что
SX=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2},~AP=\frac{SA\cdot AX}{SX}=AP=\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.

Кроме того, отрезки
SP
и
PX
пропорциональны квадратам катетов
SA
и
AX
соответственно (см. задачу 1946), т. е.
\frac{SP}{PX}=\frac{SA^{2}}{AX^{2}}=\frac{3}{\frac{3}{4}}=4,

поэтому
\frac{SP}{PX}=\frac{4}{5}
.
Аналогично найдём, что перпендикуляр
AQ
, опущенный из точки
A
на плоскость
A'SB'
тоже равен
\sqrt{\frac{3}{5}}
и отношение отрезка
SQ
к высоте
SY
треугольника
A'SB'
тоже равно
\frac{SQ}{SY}=\frac{4}{5}
. Тогда
PQ\parallel XY
, а треугольник
PSQ
подобен треугольнику
XSY
с коэффициентом
\frac{4}{5}
. Следовательно,
PQ=\frac{4}{5}XY=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}B'C'=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot2=\frac{6}{5}.

Пусть искомый угол между плоскостями
\alpha
и
\beta
равен
\varphi
. Тогда (см. задачу 8970)
\cos\varphi=|\cos\angle PAQ|=\left|\frac{AP^{2}+AQ^{2}-PQ^{2}}{2AP\cdot PQ}\right|=\left|\frac{\frac{3}{5}+\frac{3}{5}-\frac{36}{25}}{2\cdot\frac{3}{5}}\right|=\left|-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}.

Следовательно,
\varphi=\arccos\frac{1}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1981, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 5, с. 45, задача 5, вариант 1