14814.
SABC
— треугольная пирамида,
P
середина ребра
AB
,
Q
— точка пересечения медиан грани
SBC
. Разложите вектор
\overrightarrow{PQ}
по векторам
\overrightarrow{a}=\overrightarrow{SA}
,
\overrightarrow{b}=\overrightarrow{SB}
и
\overrightarrow{c}=\overrightarrow{SC}
.
Ответ.
\overrightarrow{PQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{6}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}
.
Решение. Пусть
M
— середина ребра
BC
. Поскольку
\overrightarrow{PS}=-\overrightarrow{SP}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB})=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})~\mbox{и}~\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})

(см. задачу 4500), то
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SQ}=\overrightarrow{PS}+\frac{2}{3}\overrightarrow{SM}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{6}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1981, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 6, с. 41, задача 2, вариант 1