14815. Точка
(x;y;z)
лежит на плоскости
x+y+z=3
. Докажите, что
x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant3
.
Решение. По формулам расстояний между точками и от точки до плоскости (см. задачу 7563), расстояние
d
от начала координат до точки
(x;y;z)
и расстояние
h
от начала координат до данной плоскости равны
d=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},

h=\left|\frac{1\cdot0+1\cdot0+1\cdot0-3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}\right|=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},

а так как длина наклонной к плоскости не меньше длины перпендикуляра, то
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geqslant\sqrt{3}~\Rightarrow~x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant3.

Что и требовалось доказать.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1981, устный экзамен
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 6, с. 42, задача 24