14823. Точка
M
— середина ребра
AD
единичного куба
ABCDA'B'C'D'
. Через середину отрезка
B'M
перпендикулярно ему проводится плоскость. Найдите расстояние от центра куба до этой плоскости.
Ответ.
\frac{1}{12}
.
Решение. Пусть
O
— центр данного куба,
K
— середина отрезка
B'M
,
d
— искомое расстояние. Введём прямоугольную систему координат
Axyz
с началом в точке
A
, направив ось
AX
по лучу
AB
, ось
Ay
— по лучу
AD
, а ось
Az
по лучу
AA'
. Рассмотрим точки
B(1;0;1)
,
M\left(0;\frac{1}{2};0\right)
,
K\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)
,
O\left(0;\frac{1}{2};0\right)
и вектор
\overrightarrow MB'=\left(1;-\frac{1}{2};1\right)
. Тогда уравнение плоскости, проведённой через точку
K
перпендикулярно прямой
B'M
, имеет вид (см. задачу 7561)
1\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{4}\right)+1\cdot\left(z-\frac{1}{2}\right)=0,~\mbox{или}~8x-4y+8z-7=0.

Следовательно (см. задачу 7563),
d=\frac{\left|8\cdot\frac{1}{2}-4\cdot\frac{1}{4}+8\cdot\frac{1}{2}-7\right|}{\sqrt{8^{2}+4^{2}+8^{2}}}=\frac{|4-1+4-7|}{\sqrt{144}}=\frac{1}{12}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — , 1987, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 3, с. 54, задача 5, вариант 1