14823. Точка M
— середина ребра AD
единичного куба ABCDA'B'C'D'
. Через середину отрезка B'M
перпендикулярно ему проводится плоскость. Найдите расстояние от центра куба до этой плоскости.
Ответ. \frac{1}{12}
.
Решение. Пусть O
— центр данного куба, K
— середина отрезка B'M
, d
— искомое расстояние. Введём прямоугольную систему координат Axyz
с началом в точке A
, направив ось AX
по лучу AB
, ось Ay
— по лучу AD
, а ось Az
по лучу AA'
. Рассмотрим точки B(1;0;1)
, M\left(0;\frac{1}{2};0\right)
, K\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)
, O\left(0;\frac{1}{2};0\right)
и вектор \overrightarrow MB'=\left(1;-\frac{1}{2};1\right)
. Тогда уравнение плоскости, проведённой через точку K
перпендикулярно прямой B'M
, имеет вид (см. задачу 7561)
1\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{4}\right)+1\cdot\left(z-\frac{1}{2}\right)=0,~\mbox{или}~8x-4y+8z-7=0.
Следовательно (см. задачу 7563),
d=\frac{\left|8\cdot\frac{1}{2}-4\cdot\frac{1}{4}+8\cdot\frac{1}{2}-7\right|}{\sqrt{8^{2}+4^{2}+8^{2}}}=\frac{|4-1+4-7|}{\sqrt{144}}=\frac{1}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — , 1987, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 3, с. 54, задача 5, вариант 1