14825. Основание четырёхугольной пирамиды SABCD
— прямоугольник ABCD
со сторонами AB=5
и BC=2
. Известно, что SB=4
, SA=3
, SC=x
и SD=y
. При каких значениях x
и y
объём пирамиды наибольший? Чему равен этот объём?
Ответ. x=2\sqrt{5}
, Y=\sqrt{13}
; V=8
.
Решение. По теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник ASB
прямоугольный.
Объём данной пирамиды максимален, если максимальна её высота, т. е. если высота пирамиды совпадает с высотой SH
прямоугольного треугольника ASB
, проведённой из вершины S
прямого угла, а так как (см. задачу 1967)
SH=\frac{SA\cdot SB}{AB}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5},
то максимальный объём пирамиды равен
V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot5\cdot2\cdot\frac{12}{5}=8.
При этом из прямоугольных треугольников ASB
и CBH
находим,
BH=\frac{SB^{2}}{AB}=\frac{16}{5}
(см. задачу 1967) и
CH^{2}=BC^{2}+BH^{2}=2^{2}+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}.
Следовательно,
x=SC=\sqrt{SH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}+2^{2}+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}}=\frac{2}{5}\sqrt{36+25+64}=2\sqrt{5}.
Аналогично находим, что y=SD=\sqrt{13}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1988, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 3, с. 65, задача 5, вариант 1