14825. Основание четырёхугольной пирамиды
SABCD
— прямоугольник
ABCD
со сторонами
AB=5
и
BC=2
. Известно, что
SB=4
,
SA=3
,
SC=x
и
SD=y
. При каких значениях
x
и
y
объём пирамиды наибольший? Чему равен этот объём?
Ответ.
x=2\sqrt{5}
,
Y=\sqrt{13}
;
V=8
.
Решение. По теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник
ASB
прямоугольный.
Объём данной пирамиды максимален, если максимальна её высота, т. е. если высота пирамиды совпадает с высотой
SH
прямоугольного треугольника
ASB
, проведённой из вершины
S
прямого угла, а так как (см. задачу 1967)
SH=\frac{SA\cdot SB}{AB}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5},

то максимальный объём пирамиды равен
V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot5\cdot2\cdot\frac{12}{5}=8.

При этом из прямоугольных треугольников
ASB
и
CBH
находим,
BH=\frac{SB^{2}}{AB}=\frac{16}{5}

(см. задачу 1967) и
CH^{2}=BC^{2}+BH^{2}=2^{2}+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}.

Следовательно,
x=SC=\sqrt{SH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}+2^{2}+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}}=\frac{2}{5}\sqrt{36+25+64}=2\sqrt{5}.

Аналогично находим, что
y=SD=\sqrt{13}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1988, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 3, с. 65, задача 5, вариант 1