14826. В правильной треугольной пирамиде
SABC
через ребро
BC
основания проведено сечение перпендикулярно ребру
SA
. Найдите отношение объёмов частей, на которые это сечение разбивает пирамиду, если известно, что высота пирамиды в два раза больше радиуса окружности, описанной вокруг основания.
Ответ.
3:7
.
Решение. Пусть секущая плоскость пересекает ребро
SA
в точке
D
,
SH
— высота пирамиды,
E
— середина ребра
BC
. Обозначим через
a
сторону основания пирамиды, через
R
— радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника
ABC
.
Тогда
AE=\frac{a\sqrt{3}}{2},~R=HA=\frac{a\sqrt{3}}{3},~SH=2R=\frac{2a\sqrt{3}}{3},~EH=\frac{1}{2}R=\frac{a\sqrt{3}}{6}.

Из прямоугольного треугольника
SAH
находим, что
SA=\sqrt{HA^{2}+SH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{4a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}.

Секущая плоскость перпендикулярна прямой
SA
, поэтому
ED
— высота треугольника
ASE
, а так как
SH
— вторая высота этого треугольника, то (см. задачу 1967),
AE\cdot SH=SA\cdot ED~\Rightarrow~ED=\frac{AE\cdot SH}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}.

Заметим, что отношение объёмов треугольных пирамид
ABCD
и
SBCD
с общим основанием
BCD
равно отношению их высот
AD
и
SD
.
Из прямоугольного треугольника
ADE
находим, что
AD=\sqrt{AE^{2}-ED^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}-\frac{3a^{2}}{5}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}},

значит,
SD=SA-AD=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}=\frac{7a}{2\sqrt{15}}.

Следовательно,
\frac{AD}{SD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}}{\frac{7a}{2\sqrt{15}}}=\frac{3}{7}.

Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1988, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 4, с. 67, задача 5, вариант 2