14826. В правильной треугольной пирамиде SABC
через ребро BC
основания проведено сечение перпендикулярно ребру SA
. Найдите отношение объёмов частей, на которые это сечение разбивает пирамиду, если известно, что высота пирамиды в два раза больше радиуса окружности, описанной вокруг основания.
Ответ. 3:7
.
Решение. Пусть секущая плоскость пересекает ребро SA
в точке D
, SH
— высота пирамиды, E
— середина ребра BC
. Обозначим через a
сторону основания пирамиды, через R
— радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC
.
Тогда
AE=\frac{a\sqrt{3}}{2},~R=HA=\frac{a\sqrt{3}}{3},~SH=2R=\frac{2a\sqrt{3}}{3},~EH=\frac{1}{2}R=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
Из прямоугольного треугольника SAH
находим, что
SA=\sqrt{HA^{2}+SH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{4a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}.
Секущая плоскость перпендикулярна прямой SA
, поэтому ED
— высота треугольника ASE
, а так как SH
— вторая высота этого треугольника, то (см. задачу 1967),
AE\cdot SH=SA\cdot ED~\Rightarrow~ED=\frac{AE\cdot SH}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}.
Заметим, что отношение объёмов треугольных пирамид ABCD
и SBCD
с общим основанием BCD
равно отношению их высот AD
и SD
.
Из прямоугольного треугольника ADE
находим, что
AD=\sqrt{AE^{2}-ED^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}-\frac{3a^{2}}{5}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}},
значит,
SD=SA-AD=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}=\frac{7a}{2\sqrt{15}}.
Следовательно,
\frac{AD}{SD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}}{\frac{7a}{2\sqrt{15}}}=\frac{3}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1988, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 4, с. 67, задача 5, вариант 2