14829. В основании правильной треугольной пирамиды ABCA'B'C'
с боковыми рёбрами AA'
, BB'
и CC'
лежит равносторонний треугольник ABC
со стороной 4. Найдите объём призмы, если известно, что прямые AB'
и CA'
перпендикулярны.
Ответ. 8\sqrt{6}
.
Решение. Обозначим AA'=BB'=CC'=h
. На продолжении ребра BA
за точку A
отложим отрезок AM=BA=4
. Тогда AMA'B'
— параллелограмм, поэтому MA'\parallel AB'
и
MA'=AB'=\sqrt{AB^{2}+BB'^{2}}=\sqrt{16+h^{2}}.
Угол между скрещивающимися прямыми AB'
и CA'
равен углу между пересекающимися прямыми A'M
и A'C
, т. е. \angle CA'M=90^{\circ}
. Значит,
CM=\sqrt{A'M^{2}+A'C^{2}}=\sqrt{2(16+h^{2})}.
В то же время, медиана CM
треугольника BCM
равна половине стороны BM
. Значит, треугольник BCM
прямоугольный с прямым углом при вершине C
(см. задачу 1188) и углом 60^{\circ}
при вершине B
, поэтому
CM=BC\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
Из равенства \sqrt{2(16+h^{2})}=4\sqrt{3}
находим, что h=2\sqrt{2}
. Следовательно,
V_{ABCA'B'C'}=S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{2}=8\sqrt{6}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1991, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 5, вариант 1