14829. В основании правильной треугольной пирамиды
ABCA'B'C'
с боковыми рёбрами
AA'
,
BB'
и
CC'
лежит равносторонний треугольник
ABC
со стороной 4. Найдите объём призмы, если известно, что прямые
AB'
и
CA'
перпендикулярны.
Ответ.
8\sqrt{6}
.
Решение. Обозначим
AA'=BB'=CC'=h
. На продолжении ребра
BA
за точку
A
отложим отрезок
AM=BA=4
. Тогда
AMA'B'
— параллелограмм, поэтому
MA'\parallel AB'
и
MA'=AB'=\sqrt{AB^{2}+BB'^{2}}=\sqrt{16+h^{2}}.

Угол между скрещивающимися прямыми
AB'
и
CA'
равен углу между пересекающимися прямыми
A'M
и
A'C
, т. е.
\angle CA'M=90^{\circ}
. Значит,
CM=\sqrt{A'M^{2}+A'C^{2}}=\sqrt{2(16+h^{2})}.

В то же время, медиана
CM
треугольника
BCM
равна половине стороны
BM
. Значит, треугольник
BCM
прямоугольный с прямым углом при вершине
C
(см. задачу 1188) и углом
60^{\circ}
при вершине
B
, поэтому
CM=BC\sqrt{3}=4\sqrt{3}.

Из равенства
\sqrt{2(16+h^{2})}=4\sqrt{3}
находим, что
h=2\sqrt{2}
. Следовательно,
V_{ABCA'B'C'}=S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{2}=8\sqrt{6}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1991, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 5, вариант 1