14832. В кубе с ребром 1 расположен конус. Его вершина совпадает с вершиной куба. Три грани куба касаются боковой поверхности конуса, а вписанный в куб шар касается основания конуса. Найдите объём конуса.
Ответ. \frac{\pi}{48}(\sqrt{3}-1)^{3}
.
Решение. Пусть O
— центр куба ABCDA'B'C'D'
, а вершина конуса совпадает с точкой A
. Тогда O
— центр шара радиуса R=\frac{1}{2}
, вписанного в куб, а так как боковая поверхность конуса касается граней ABCD
, ABB'A'
и ADD'A'
куба, то точки касания окружности основания конуса с этими гранями должны лежат на отрезках AC
, AB'
и AD'
соответственно.
Пусть диагональ AC'
куба пересекает плоскость B'CD'
в точке M
. Тогда M
— центр равностороннего треугольника B'CD'
со стороной \sqrt{2}
, AM
— высота конуса \Gamma
с вершиной A
и окружностью основания радиуса \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}
, описанной около треугольника B'CD'
, причём
AM=\frac{2}{3}AC'=\frac{2}{3}\sqrt{3}
(см. задачи 7210 и 7300).
Пусть V'
— объём конуса \Gamma
. Тогда
V'=\frac{1}{2}\pi\cdot\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{4\pi\sqrt{3}}{27}.
Заметим, что если точка касания шара и конуса, о котором говорится в условии, лежит по одну сторону с точкой O
от плоскости B'CD'
, то его высота равна
AO+R=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2},
значит, этот конус подобен конусу \Gamma
с коэффициентом
k=\frac{AO+R}{AM}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\frac{2}{3}\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}\gt1,
так как 3+\sqrt{3}\gt4
. Значит, точки касания этого конуса с гранями ABCD
, ABB'A'
и ADD'A'
лежат вне этих граней.
Пусть точка O
и точка касания шара и конуса, о котором говорится в условии, лежат по одну сторону от плоскости B'CD'
, то его высота равна
AO-R=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2},
значит, этот конус подобен конусу \Gamma
с коэффициентом
k=\frac{AO-R}{AM}=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\frac{2}{3}\sqrt{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{4}\gt1,
так как 3-\sqrt{3}\lt4
. Значит, точки касания этого конуса с гранями ABCD
, ABB'A'
и ADD'A'
лежат на этих гранях. Тогда, если V
— объём этого конуса, то
V=k^{3}V'=\left(\frac{3-\sqrt{3}}{4}\right)^{3}\cdot\frac{4\pi\sqrt{3}}{27}=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)^{3}\cdot4\pi\sqrt{3}}{64\cdot27}=\frac{\pi}{48}(\sqrt{3}-1)^{3}.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1991, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 4, с. 68, задача 5, вариант 1