14836. Пирамиды
SABCD
и
S'ABCD
имеют общее основание
ABCD
, представляющее собой ромб со стороной
a
и острым углом
60^{\circ}
. Вершины
S
и
S'
лежат по разные стороны от плоскости
ABCD
, причём боковые грани одной из пирамид образуют угол
30^{\circ}
с основанием, а другой — угол
60^{\circ}
. Найдите радиус шара, лежащего внутри многогранника
SABCDS'
и касающегося всех его граней.
Ответ.
\frac{a(3-\sqrt{3})}{4}
.
Решение. Поскольку боковые грани каждой из пирамид
SABCD
и
S'ABCD
образуют равные углы с общим основанием, высота каждой из пирамид проходит через центр
O
ромба
ABCD
, т. е. точку пересечения диагоналей ромба. Значит, точка
O
лежит на отрезке
SS'
перпендикулярном плоскости
ABCD
.
Через точки
S
и
S'
проведём плоскость, перпендикулярную ребру
AB
. Пусть
E
— точка пересечения
AB
с этой плоскостью. Тогда
\angle SEO=30^{\circ},~\angle S'EO=60^{\circ},~\angle SES'=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ},

а отрезок
EO
равен половине высоты
DH
равностороннего треугольника
ADB
, т. е.
EO=\frac{a\sqrt{3}}{4}
. Тогда
ES=\frac{OE}{\cos30^{\circ}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{2},~ES'=\frac{OE}{\cos60^{\circ}}=2EO=\frac{a\sqrt{3}}{2},~SS'=a.

Центр
F
шара искомого радиуса
r
лежит на отрезке
SS'
и равноудалён от сторон
SE
и
S'E
треугольника
SS'E
, значит,
EF
— биссектриса треугольника
SES'
. Тогда (см. задачу 1509)
\frac{SF}{FS'}=\frac{ES}{ES'}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~FS'=SS'\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}.

Пусть шар касается грани
ASB
в точке
G
. Тогда
G
лежит на отрезке
SE
, причём
SG\parallel S'E
. Из подобия прямоугольных треугольников
SGF
и
SES'
находим, что
r=FG=S'E\cdot\frac{SF}{SS'}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2(3-1)}=\frac{a(3-\sqrt{3})}{4}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 6, задача 5, вариант 3