14840. Основание прямоугольного параллелепипеда с высотой
a
— прямоугольник со сторонами
a
и
a\sqrt{3}
. Через одну из диагоналей основания проведена плоскость, составляющая угол
30^{\circ}
со второй диагональю основания. Найти площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.
Ответ.
\frac{3a^{2}\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть
ABCDA'B'C'D'
— прямоугольный параллелепипед, в котором
AB=a\sqrt{3}
,
BC=AA'=a
, диагонали
AC
и
BD
грани
ABCD
пересекаются в точке
O
, а прямая
DO
образует угол
30^{\circ}
с плоскостью, проходящей через прямую
AC
. Пусть эта плоскость пересекает прямую
BB'
в точке
E
.
Проведём высоту
DH
прямоугольного треугольника
ADC
из вершины
D
прямого угла и высоту
DP
прямоугольного треугольника
EDH
из вершины
D
прямого угла. Прямая
DP
перпендикулярна плоскости
AEC
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым
AC
и
EH
этой плоскости. Значит,
DOP
— угол наклонной
DO
с плоскостью
AEC
. По условию
\angle DOP=30^{\circ}
. Обозначим
\angle DHE=\varphi
— угол между плоскостями
AEC
и
ABCD
.
Из прямоугольных треугольников
ADC
,
DPO
и
ODE
и находим, что
AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a,~DH=\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2},

DP=\frac{1}{2}DO=\frac{a}{2},~\sin\varphi=\sin\angle FHP=\frac{DP}{DH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Тогда
\cos\varphi=\sqrt{\frac{2}{3}},~\tg\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Значит,
ED=DH\tg\varphi=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=a\sqrt{\frac{3}{8}}\lt a=DD',

поэтому точка
E
лежит на ребре
DD'
, а не на его продолжении. Следовательно, сечение о котором говорится в условии задачи — треугольник
ADC
.
Поскольку треугольник
ADC
— ортогональная проекция сечения
AEC
на плоскость
ABCD
, а угол между плоскостями
ADC
и
ABCD
равен
\varphi
, то (см. задачу 8093)
S_{\triangle AEC}=\frac{S_{\triangle ADC}}{\cos\varphi}=\frac{\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{3a^{2}\sqrt{2}}{4}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 8, задача 5, вариант 2