14840. Основание прямоугольного параллелепипеда с высотой a
— прямоугольник со сторонами a
и a\sqrt{3}
. Через одну из диагоналей основания проведена плоскость, составляющая угол 30^{\circ}
со второй диагональю основания. Найти площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть ABCDA'B'C'D'
— прямоугольный параллелепипед, в котором AB=a\sqrt{3}
, BC=AA'=a
, диагонали AC
и BD
грани ABCD
пересекаются в точке O
, а прямая DO
образует угол 30^{\circ}
с плоскостью, проходящей через прямую AC
. Пусть эта плоскость пересекает прямую BB'
в точке E
.
Проведём высоту DH
прямоугольного треугольника ADC
из вершины D
прямого угла и высоту DP
прямоугольного треугольника EDH
из вершины D
прямого угла. Прямая DP
перпендикулярна плоскости AEC
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и EH
этой плоскости. Значит, DOP
— угол наклонной DO
с плоскостью AEC
. По условию \angle DOP=30^{\circ}
. Обозначим \angle DHE=\varphi
— угол между плоскостями AEC
и ABCD
.
Из прямоугольных треугольников ADC
, DPO
и ODE
и находим, что
AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a,~DH=\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2},
DP=\frac{1}{2}DO=\frac{a}{2},~\sin\varphi=\sin\angle FHP=\frac{DP}{DH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда
\cos\varphi=\sqrt{\frac{2}{3}},~\tg\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Значит,
ED=DH\tg\varphi=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=a\sqrt{\frac{3}{8}}\lt a=DD',
поэтому точка E
лежит на ребре DD'
, а не на его продолжении. Следовательно, сечение о котором говорится в условии задачи — треугольник ADC
.
Поскольку треугольник ADC
— ортогональная проекция сечения AEC
на плоскость ABCD
, а угол между плоскостями ADC
и ABCD
равен \varphi
, то (см. задачу 8093)
S_{\triangle AEC}=\frac{S_{\triangle ADC}}{\cos\varphi}=\frac{\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{3a^{2}\sqrt{2}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 8, задача 5, вариант 2