14844. Через диагональ куба с ребром a
проведена плоскость, составляющая угол 60^{\circ}
с одной из граней. Найти площадь сечения куба этой плоскостью.
Ответ. 2a^{2}
или a^{2}(\sqrt{5}-1)
.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через диагональ A'C
куба ABCDA'B'C'D'
и образует угол 60^{\circ}
с гранью ABCD
. Пусть прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью ABCD
(проходящая через точку C
) пересекает продолжения рёбер AB
и AD
в точках P
и Q
соответственно, прямая A'P
пересекает ребро BB'
в точке L
. Тогда сечения пирамиды — параллелограмм A'KCM
. Ортогональная проекция сечения на плоскость ABCD
— квадрат ABCD
площади a^{2}
, а секущая плоскость образует с плоскостью ABCD
угол 60^{\circ}
. Следовательно (см. задачу 8093), площадь сечения равна \frac{a^{2}}{\cos60^{\circ}}=2a^{2}
. Тот же результат для случая, когда секущая плоскость образует угол 60^{\circ}
с гранью A'B'C'D'
.
Пусть секущая плоскость проходит через диагональ A'C
куба ABCDA'B'C'D'
и образует угол 60^{\circ}
с плоскостью CC'D'D
, а эти плоскости пересекаются по прямой m
(проходящей через точку C
. Опустим перпендикуляр A'H
из точки A'
на эту прямую. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах D'H
— перпендикуляр к прямой m
. Значит, A'HD'
— угол между плоскостями, \angle A'HD'=60^{\circ}
.
Пусть прямая m
пересекает продолжение ребра DD'
в точке E
, а прямая CE
пересекает ребро DD'
в точке L
. Тогда секущая плоскость пересекает грань CC'D'D
по отрезку CL
, а параллельную ей грань AA'B'B
— по отрезку A'N
параллельному и равному CL
. Таким образом сечение куба — параллелограмм A'LCN
.
Пусть F
— ортогональная проекция точки N
на ребро CC'
. Тогда CF=BN=D'L
, а параллелограмм CFD'L
— ортогональная проекция сечения на плоскость CC'D'D
. Из прямоугольного треугольника A'D'H
находим высоту D'H
этого параллелограмма как катет прямоугольного треугольника A'D'H
с углом 60^{\circ}
при вершине H
. Получаем
D'H=A'D'\ctg60^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Найдём сторону CL
параллелограмма. Обозначим D'E=x
. Прямоугольные треугольники D'HE
и CC'E
подобны, поэтому
\frac{D'E}{CE}=\frac{D'H}{CC'},~\mbox{или}~\frac{x}{\sqrt{a^{2}+(a+x)^{2}}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Получаем уравнение
\frac{x^{2}}{2a^{2}+2ax+x^{2}}=\frac{1}{3},~\mbox{или}~x^{2}-ax-a^{2}=0,
из которого находим, что x=\frac{a(\sqrt{5}+1)}{2}
.
Из подобия прямоугольных треугольников FC'D'
и DHE
следует, что
\frac{C'D'}{FD'}=\frac{HE}{D'E},~\mbox{или}~\frac{a}{FD'}=\frac{\sqrt{x^{2}-\frac{a^{2}}{3}}}{x},
откуда
CL=F'D=\frac{ax}{\sqrt{x^{2}-\frac{a^{2}}{3}}}=\frac{\frac{a^{2}(\sqrt{5}+1)}{2}}{\sqrt{\frac{a^{2}(\sqrt{5}+1)^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{3}}}=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2}.
Следовательно, площадь сечения равна
\frac{CL\cdot D'H}{\cos60^{\circ}}=2CL\cdot D'H=2\cdot\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}=a^{2}(\sqrt{5}-1).
Тот же результат для остальных случаев.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 11, задача 5, вариант 5