14844. Через диагональ куба с ребром
a
проведена плоскость, составляющая угол
60^{\circ}
с одной из граней. Найти площадь сечения куба этой плоскостью.
Ответ.
2a^{2}
или
a^{2}(\sqrt{5}-1)
.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через диагональ
A'C
куба
ABCDA'B'C'D'
и образует угол
60^{\circ}
с гранью
ABCD
. Пусть прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью
ABCD
(проходящая через точку
C
) пересекает продолжения рёбер
AB
и
AD
в точках
P
и
Q
соответственно, прямая
A'P
пересекает ребро
BB'
в точке
L
. Тогда сечения пирамиды — параллелограмм
A'KCM
. Ортогональная проекция сечения на плоскость
ABCD
— квадрат
ABCD
площади
a^{2}
, а секущая плоскость образует с плоскостью
ABCD
угол
60^{\circ}
. Следовательно (см. задачу 8093), площадь сечения равна
\frac{a^{2}}{\cos60^{\circ}}=2a^{2}
. Тот же результат для случая, когда секущая плоскость образует угол
60^{\circ}
с гранью
A'B'C'D'
.
Пусть секущая плоскость проходит через диагональ
A'C
куба
ABCDA'B'C'D'
и образует угол
60^{\circ}
с плоскостью
CC'D'D
, а эти плоскости пересекаются по прямой
m
(проходящей через точку
C
. Опустим перпендикуляр
A'H
из точки
A'
на эту прямую. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
D'H
— перпендикуляр к прямой
m
. Значит,
A'HD'
— угол между плоскостями,
\angle A'HD'=60^{\circ}
.
Пусть прямая
m
пересекает продолжение ребра
DD'
в точке
E
, а прямая
CE
пересекает ребро
DD'
в точке
L
. Тогда секущая плоскость пересекает грань
CC'D'D
по отрезку
CL
, а параллельную ей грань
AA'B'B
— по отрезку
A'N
параллельному и равному
CL
. Таким образом сечение куба — параллелограмм
A'LCN
.
Пусть
F
— ортогональная проекция точки
N
на ребро
CC'
. Тогда
CF=BN=D'L
, а параллелограмм
CFD'L
— ортогональная проекция сечения на плоскость
CC'D'D
. Из прямоугольного треугольника
A'D'H
находим высоту
D'H
этого параллелограмма как катет прямоугольного треугольника
A'D'H
с углом
60^{\circ}
при вершине
H
. Получаем
D'H=A'D'\ctg60^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}}.

Найдём сторону
CL
параллелограмма. Обозначим
D'E=x
. Прямоугольные треугольники
D'HE
и
CC'E
подобны, поэтому
\frac{D'E}{CE}=\frac{D'H}{CC'},~\mbox{или}~\frac{x}{\sqrt{a^{2}+(a+x)^{2}}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Получаем уравнение
\frac{x^{2}}{2a^{2}+2ax+x^{2}}=\frac{1}{3},~\mbox{или}~x^{2}-ax-a^{2}=0,

из которого находим, что
x=\frac{a(\sqrt{5}+1)}{2}
.
Из подобия прямоугольных треугольников
FC'D'
и
DHE
следует, что
\frac{C'D'}{FD'}=\frac{HE}{D'E},~\mbox{или}~\frac{a}{FD'}=\frac{\sqrt{x^{2}-\frac{a^{2}}{3}}}{x},

откуда
CL=F'D=\frac{ax}{\sqrt{x^{2}-\frac{a^{2}}{3}}}=\frac{\frac{a^{2}(\sqrt{5}+1)}{2}}{\sqrt{\frac{a^{2}(\sqrt{5}+1)^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{3}}}=\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2}.

Следовательно, площадь сечения равна
\frac{CL\cdot D'H}{\cos60^{\circ}}=2CL\cdot D'H=2\cdot\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}=a^{2}(\sqrt{5}-1).

Тот же результат для остальных случаев.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 11, задача 5, вариант 5