14872. В треугольной пирамиде SABC
рёбра AB
, AC
, AS
взаимно перпендикулярны и AB=1
, AC=2
, AS=4
. Точки K
и L
— середины рёбер BS
и AC
. Найдите угол между прямой KL
и плоскостью BSC
.
Ответ. \arcsin\frac{4}{21}
.
Решение. Введём систему координат с началом в вершине A
, направив оси координат Ax
, Ay
, Az
по лучам AB
, AC
, AS
соответственно. Тогда данные точки имеют координаты B(1;0;0)
, C(0;2;0)
, S(0;0;4)
, K\left(\frac{1}{2};0;2\right)
, L(0;1;0)
. Уравнение плоскости BCS
, имеет вид (см. задачу 7564)
x+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1~\Leftrightarrow~4x+2y+z-4=0.
Вектор \overrightarrow{n}=(4;2;1)
перпендикулярен этой плоскости (вектор нормали).
Пусть \varphi
— искомый угол между прямой KL
и плоскостью BSC
. Тогда, поскольку \overrightarrow{KL}=\left(0-\frac{1}{2};1-0;0-2\right)=\left(-\frac{1}{2};1;-2\right)
, получаем
\sin\varphi=|\cos\angle(\overrightarrow{n},\overrightarrow{KL})|=\frac{|\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{KL}|}{|\overrightarrow{n}|\cdot|\overrightarrow{KL}|}=\frac{|4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+2\cdot1+1\cdot(-2)|}{\sqrt{4^{2}+2^{2}+1^{2}}\cdot\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=
=\frac{2}{\sqrt{21}\cdot\frac{\sqrt{21}}{2}}=\frac{4}{21}.
Следовательно, \varphi=\arcsin\frac{4}{21}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1993, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1993, с. 228, задача 5, вариант 1