14901. В основании прямой призмы ABCA'B'C'
лежит треугольник ABC
, в котором AB=BC=a
, \angle ABC=90^{\circ}
. Высота призмы равна a
. На ребре AB
выбрана точка D
, причём 2BD=AD
. Через точки C
и D
параллельно AC'
проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{14}}{12}
.
Решение. Отметим на ребре A'B'
точку D'
, для которой A'D'=2B'D'
. Отметим на ребре BB'
точку M
, для которой DM\parallel AD'
. Докажем, что треугольник CMD
— сечение данной призмы, о котором говорится в условии задачи.
Действительно, плоскость CDM
параллельна плоскости C'D'A
, так как пересекающиеся прямые DM
и DC
плоскости CDM
соответственно параллельны прямым AD'
и C'D'
плоскости C'D'A'
. Значит, плоскость CMD
параллельна прямой A'C
и проходит через точки C
и D
. Что и требовалось доказать.
Обозначим \angle BDM=\angle A'D'A=\alpha
. Из прямоугольного треугольника A'D'A
находим
\tg\alpha=\frac{AA'}{A'D'}=\frac{a}{\frac{2}{3}a}=\frac{3}{2}~\Rightarrow~MB=BD\tg\alpha=\frac{1}{3}a\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2}a.
Пусть BH
— высота прямоугольного треугольника CBD
, опущенная на гипотенузу CD
. Тогда
BH=\frac{BC\cdot BD}{CD}=\frac{a\cdot\frac{a}{3}}{\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{9}}}=\frac{a}{\sqrt{10}},
По теореме о трёх перпендикулярах MH\perp CD
, поэтому линейный угол двугранного угла при ребре CD
треугольной пирамиды BCDM
— это угол BHM
. Обозначим его через \varphi
. Тогда
\tg\varphi=\frac{MB}{BH}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}~\Rightarrow~\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\varphi}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{5}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}.
Следовательно (см. задачу 8093),
S_{\triangle CDM}=\frac{S_{\triangle CDB}}{\cos\varphi}=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}}=\frac{a^{2}\sqrt{14}}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 117, задача 5, вариант 2