14902. Основание прямой треугольной призмы ABCA'B'C'
— треугольник ABC
, в котором AB=a
, AC=2a
, \angle BAC=120^{\circ}
. Высота призмы равна a
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, которая делит пополам двугранный угол призмы при ребре AB
.
Ответ. \frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6}}
.
Решение. Пусть плоскость сечения \alpha
, о которой говорится в условии, пересекается с прямой CC'
в точке M
, а прямые MB
и MA
пересекают прямые BC
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Поскольку точка M
лежит в плоскости \alpha
, эта точка равноудалена от плоскостей ABC
и AA'B'B
, т. е. отрезок MC
равен перпендикуляру, опущенному из точки M
на плоскость AA'B'B
, равному высоте CH
треугольника ABC
.
Из прямоугольного треугольника AHC
находим, что
CH=AC\sin\angle CAH=2a\sin60^{\circ}=a\sqrt{3},
поэтому MC=CH=a\sqrt{3}
.
Пусть P'
и Q'
— ортогональные проекции точек соответственно P
и Q
на плоскость A'B'C'
. Тогда точки P'
и Q'
лежат на рёбрах B'C'
и A'C'
соответственно, а треугольник BPP'
подобен треугольнику BCM
с коэффициентом
\frac{Q'Q}{MC}=\frac{P'P}{MC}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Значит, треугольник QCP
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом
\frac{CP}{CB}=\frac{MP'}{MB}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}},
поэтому
PQ=AB\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}.
Трапеция ABPQ
— ортогональная проекция сечения ABP'Q'
на плоскость ABC
, а так как по теореме о трёх перпендикулярах MH\perp BH
, то CHM
— линейный угол двугранного угла при ребре AB
данной призмы, причём \angle CHM=45^{\circ}
, так как AMB
— биссекторная плоскость этого двугранного угла. Кроме того, высота PT
трапеции ABPQ
из подобия равна \frac{CH}{\sqrt{3}}=a
. Следовательно (см. задачу 8093),
S_{ABP'Q'}=\frac{S_{ABPQ}}{\cos45^{\circ}}=\frac{\frac{AB+PQ}{2}\cdot PT}{\cos45^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}\left(a+\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}\right)\cdot a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a^{2}(2\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 117, задача 5, вариант 3