14909. Дан правильный тетраэдр SABC
с ребром 1. Точки D
, E
и F
лежат соответственно на рёбрах AS
, BS
, CS
, причём AD=BE=\frac{1}{3}
, CF=\frac{2}{3}
. Найдите объём пирамиды DEFG
, где G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{81}
.
Решение. Выберем на ребре AC
точку H
для которой, чтобы AH=\frac{1}{3}
. Отрезок GH
параллелен прямой DE
, а значит, плоскости DEF
, поэтому объём пирамиды DEFG
равен объёму пирамиды DEFH
. Тогда, если площадь треугольника ASC
равна S
, то
S_{\triangle DFH}=S-S_{\triangle DSF}-S_{\triangle FCH}-S_{\triangle HAD}=
=S-\frac{SD}{SA}\cdot\frac{SF}{SC}S-\frac{SF}{CH}\cdot\frac{CH}{CA}S-\frac{AH}{AC}\cdot\frac{AD}{AS}S=
=S-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}S-\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}S-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}S=S\left(1-\frac{2}{9}-\frac{4}{9}-\frac{1}{9}\right)=\frac{2}{9}S.
Высота h
правильного тетраэдра с ребром 1 равна \sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040), а объём V
равен
V=V_{SABC}=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{12}.
Поскольку \frac{ES}{BS}=\frac{2}{3}
, расстояние от точки E
до плоскости ASC
(т. е. высота пирамиды DEFH
, проведённой из вершины E
) равно двум третям расстояния от точки B
до плоскости ASC
(т. е. высоты пирамиды SABC
, проведённой из вершины B
). Следовательно,
V_{DEFG}=V_{DEFH}=\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{3}V=\frac{4}{27}V=\frac{4}{27}\cdot\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{81}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1977, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 121, задача 5, вариант 2